Задача.

Вершинами треугольника являются точки A(-2;1), B(-1;5), C(-6;2). Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный. Решение. У равнобедренного треугольника две стороны равны. Чтобы доказать, что треугольник является равнобедренным, необходимо вычислить длину всех его сторон. Применив формулу вычисления длины отрезка через координаты его точек, получим:   AB = sqrt(  ( -2 - ( -1 ) )² + ( 1 - 5 )² ) = √( 1 + 16 )  = √17  BC = sqrt(  ( -1 - ( -6 ) )² + ( 5 - 2 )² ) = √( 25 + 9 )  = √36 = 6   AC = sqrt(  ( -2 - ( -6 ) )² + ( 1 - 2 )² ) = √( 16 + 1 )  = √17  Как видно из расчетов, AB = AC равно корню квадратному из 17. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным

Задача.

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а само основание равно 24см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. Решение. Для решения задачи воспользуемся следующими формулами: где: R - радиус описанной окружности r - радиус вписанной окружности p - полупериметр треугольника S - площадь треугольника, при чем формула нахождения площади треугольника приведена для равнобедренного треугольника и является следствием формулы Герона для случая, когда a  - длины одинаковых сторон, а b - длина третьей стороны. Сначала найдем длину одинаковых сторон равнобедренного треугольника. Поскольку высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является одновременно и медианой, то, применив теорему Пифагора, получим: a = √ (9² + 12² ) =  √225 = 15 Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника S = 1/2 * 24 √ (  ( 15 + 1/2 * 24 ) ( 15  - 1/2 * 24 ) ) = 12 √ ( 27 * 3 ) = 12 √ 81 = 108 см² Откуда радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника R = 15 * 15 * 24 / ( 4 * 108 ) = 12.5 см. Радиус вписанной окружности p = ( 15 + 15 + 24 ) / 2 = 27 r = 108 / 27 = 4 Ответ: 4 и 12,5 см.

Площадь равнобедренного треугольника

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел равнобедренный треугольник). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение. См. также Свойства и формула площади равнобедренного треугольника, площадь произвольного треугольника.

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13см, а основание равно 10см. Найдите площадь равнобедренного треугольника. Решение. 1-й способ. Применим формулу Герона. Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет вид: где а - длина боковых сторон, а b - длина основания. Имеем: S = 1/2 * 10 * √ (13 + 5 )( 13 - 5 ) = 5 √ 18 * 8 = 60 см² 2-й способ. Применим теорему Пифагора Поскольку высота треугольника делит основание пополам, то длина половины основания будет равна 10 / 2 = 5 см . Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник. Соответственно, высота основания будет равна: h = √ 13² - 5² = √144 = 12 см Площадь равнобедренного треугольника будет равна площади двух прямоугольных треугольников, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим: S = 5 * 12 / 2 = 30 см² Поскольку прямоугольных треугольников два, то общая площадь равнобедренного треугольника составит: 30 * 2 = 60 см² . Ответ: Площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см² .