Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника

Примечание. Текст задачи взят с форума.

Задача. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см,а прилежащий к нему угол 60 градусов. Расстояние от точки пространства до всех вершин треугольника равно по 10 см.Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Решение.

Пусть AC = 8, ∠CAB = 60°

Исходя из того, что, что расстояние от точки пространства К до вершин треугольника одинаковое, то вершина К будет проецироваться в центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности. Таким образом, решение задачи сводится к тому, чтобы найти высоту перпендикуляра, проведенного из центра описанной окружности.

Формула радиуса описанной окружности R = a / 2sinα

откуда R = AC / ( 2 sin ∠ABC )

Поскольку треугольник прямоугольный, а один из углов (прилежащий) известен, то противолежащий угол будет равен: ∠ABC = 180° - 90° - 60°  = 30° 

R = 8 / ( 2 sin 30 ° ) = 8 см

Теперь найдем высоту получившегося прямоугольного треугольника AOK

OK = √ (10² - 8² ) = √36 = 6

Ответ: 6 см 

Равнобедренный треугольник Определение понятия

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором длины двух его сторон равны между собой. Примечание. Из определения равнобедренного треугольника следует, что правильный треугольник также является равнобедренным. Однако, необходимо помнить, что обратное утверждение - неверно.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства, приведенные ниже, используются при решении задач. Поскольку они широко известны, то подразумевается, что они не нуждаются в пояснении. Поэтому в текстах задач ссылка на них опущена.

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

• Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.

• Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой.

• Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

Признаки равнобедренного треугольника

Треугольник, у которого присутствуют перечисленные ниже признаки, является равнобедренным.

• Два угла треугольника равны

• Высота совпадает с медианой

• Высота совпадает с биссектрисой

• Биссектриса совпадает с медианой

• Две высоты равны

• Две медианы равны

• Две биссектрисы равны

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника находится по следующим формулам:

,  где a - длина одной из двух равных сторон треугольника b - длина основания α - величина одного из двух равных углов при основании

β - величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию.

См. также "Площадь треугольника".

Равнобедренный треугольник

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел равнобедренный треугольник). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение. 

См. также описание и теоретические материалы на тему свойства и формула площади равнобедренного треугольника.