Отрезки и прямые

Теоретический материл, необходимый для решения задач.

Когда две прямые пересекаются в одной точке, то они образуют четыре угла. При этом они попарно являются вертикальными и смежными.

Вертикальные углы - это углы, которые образованы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Они имеют общую вершину и равны между собой.

Смежные углы - это углы, образованные пересечением двух прямых, имеющие общую сторону, общую вершину и дополняющие друг друга до 180 градусов. Две другие стороны образуют собой прямую линию. Сумма смежных углов равна 180 градусов.

Отрезки в координатной плоскости

В этом уроке содержатся задачи по геометрии, в которых необходимо найти координаты различных точек отрезков, находящихся на координатной плоскости. Приведены решения задач, которые могут вызывать у школьников затруднения при решении.

Задачи об отрезках на координатной плоскости

Задача. Расстояние между точками A(m;-3) и B(1;5) равно 10. Найдите значение m. Решение. Примечание. Вместо знака квадратного корня далее по тексту использовано выражение sqrt(), что следует читать как квадратный корень, подкоренное выражение которого указано в скобках. Найдем расстояние между этими точками согласно формуле длины отрезка. sqrt(  (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ), подставим значения соответствующих координат точек отрезка sqrt(  (m-1)²+(-3-5)² ), согласно условию, длина отрезка равна 10, получаем sqrt(  (m-1)²+(-3-5)² ) = 10 (m-1)²+(-3-5)² = 100 m²- 2m + 65 = 100 m²- 2m - 35 = 0 решаем полученное квадратное уравнение D = 144 x₁=7 x₂=-5 Ответ: Возможные значения m 7 и -5 Задача. Найдите координаты точки, лежащей на оси y и равноудаленной от точек с координатами A(-2;3) и B(6;1). Решение. Примечание. Вместо знака квадратного корня далее по тексту использовано выражение sqrt(), что следует читать как квадратный корень, подкоренное выражение которого указано в скобках. Обозначим искомую точку как С. Поскольку известно, что искомая точка равноудалена от заданных точек А и В, то она находится от заданных координат точек на одном и том же расстоянии. Это означает, что длина отрезка BC равна длине отрезка AC. BC = AC Найдем расстояние между этими точками согласно формуле длины отрезка. sqrt(  (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ), Учтем, что, поскольку искомая точка С лежит на оси y, то для точки С координата  x=0. AC = sqrt( (-2 - 0)² +(3 - y)² ) BC = sqrt( (0 - 6)² +(y - 1)² ) Поскольку AC=BC, приравняем выражения sqrt( (-2 - 0)² +(3 - y)² ) = sqrt( (0 - 6)² +(y - 1)² ) (-2 - 0)² +(3 - y)² = (0 - 6)² +(y - 1)² 4 + 9 - 6y + y² = 36 + y² - 2y + 1 - 6y + 2y + y²- y² =36 + 1 - 4 - 9 - 4y = 24 y = -6 Ответ: Координаты искомой точки (0;-6)

Прямые на координатной плоскости

Задача. Докажите, что точки A(-2;-3), B(2;1) и C(7;6) лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими? Решение. Формула уравнения прямой, проходящих через две точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂) имеет вид ( y - y₁ ) / ( y₂ - y₁ ) = (x - x₁) / (x₂-x₁) Выведем уравнение прямой AB. Применим координаты точек A(-2;-3), B(2;1). Получим: ( y - (-3) ) / ( 1 - (-3) ) = ( x - (-2) ) / ( 2 - (-2)) ( y + 3 ) / 4 = ( x + 2 ) / 4 y + 3 = x + 2 y = x - 1 Таким образом, полученному уравнению соответствуют все точки, лежащие на данной прямой. Подставив в уравнение, значение х точки С, получим: y = 7 - 1 = 6 То есть прямая проходит через точку C(7;6) Вывод: Все точки A, B, C лежат на одной прямой