§2. Кинематика вращательного движения материальной точки
Основные понятия
Вращательное движение – движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.
Период – время, за которое материальная точка совершает полный оборот.
Частота – число оборотов, совершаемых материальной точкой в единицу времени.
Угловая скорость – первая производная угла поворота по времени.
Круговая
(циклическая) частота –
не изменяющаяся с течением времени
угловая скорость
.
Угловое ускорение – первая производная угловой скорости по времени или вторая производная угла поворота по времени.
Основные формулы |
|
Угловая скорость: |
|
Угловое ускорение: |
|
Циклическая частота: |
|
Связь угловой и линейной скоростей: |
|
Нормальное ускорение: |
|
Тангенциальное ускорение: |
|
Полное ускорение: |
|
.
.
.
.
.
.
.Примеры решения задач
Задача 1.6
Диск радиусом 5 см
вращается вокруг неподвижной оси так,
что
.
Определить для точек на ободе диска к
концу первой секунды после начала
движения полное ускорение, число
оборотов, сделанных диском.
Дано:
Найти
|
Решение Полное ускорение материальной точки, вращающейся относительно неподвижной оси, можно определить, зная угловую скорость и угловое ускорение через 1 с после начала движения: , где
|
.
Угловое ускорение
– это первая производная угловой
скорости по времени, т.е.
,
тогда
.
Угол поворота материальной точки относительно неподвижной оси
.
Угловая скорость связана с углом поворота соотношением , отсюда
Найдем число оборотов, сделанных материальной точкой за 1 с:
Ответ:
Задача 1.7
Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость 2 м/с. Определить частоту вращения диска.
Дано:
Найти
|
Решение Период вращения материальной точки и частота вращения – величины обратные друг другу, связаны с угловой скоростью зависимостью:
|
.
(1)Для всех точек твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, угловая скорость будет одинаковой, т.е.
(2)
Угловая и линейная
скорости связаны формулой:
,
тогда
.
Угловые скорости
точек, лежащих на ободе диска, и на
расстоянии
ближе к оси, могут быть выражены в виде:
Принимая условие (2), запишем
Решаем данное уравнение относительно R:
Угловая скорость
.
Тогда по формуле (1) число оборотов в единицу времени
.
Подставляем
значения:
Ответ:
Задача 1.8
Маховик начал
вращаться равноускоренно и за 10 секунд
достиг частоты вращения 300
.
Определить угловое ускорение маховика
и число оборотов, которое он сделал за
это время.
Дано:
Найти
|
Решение Кинематическое уравнение зависимости угла поворота от времени выражается формулой:
Так как маховик
начинает вращаться из состояния покоя,
то начальная угловая скорость
|
и тогда
.
(1)Число оборотов, сделанных телом при вращении, связано с углом поворота формулой:
.
(2)
Приравнивая формулы (1) и (2), получаем выражение для нахождения числа оборотов, сделанных маховиком.
.
(3)
Запишем уравнение зависимости угловой скорости от времени:
.
С учетом условия
и связи угловой скорости с частой
вращения тела
,
получаем формулу
,откуда
выражаем угловое ускорение
.
(4)
Подставляем формулу (4) в (3):
.
С учетом исходных данных, получаем
;
.
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения
1. Шкив диаметром 20 см делает 300 оборотов за 3 минуты. Определить период вращения, угловую и линейную скорости точки на ободе шкива (0,6 с; 10,5 рад/с; 1,05 м/с).
2. Материальная
точка массой 20 г движется по окружности
радиусом 10 см с постоянным тангенциальным
ускорением. К концу пятого оборота после
начала движения кинетическая энергия
материальной точки оказалась равной
6,3 мДж. Определить тангенциальное
ускорение
.
3. Якорь
электродвигателя, имеющий частоту
вращения 50 оборотов в секунду, после
выключения тока, сделав 500 оборотов,
остановился. Определить угловое ускорение
якоря
.
4. Колесо автомобиля
вращается равнозамедленно. За 2 минуты
оно изменило частоту вращения от 240
до 60
.
Определите угловое ускорение колеса;
число полных оборотов, сделанных колесом
за это время (0,157
;
300).
5. Диск радиусом
10 см вращается так, что зависимость угла
поворота радиуса диска от времени
задается уравнением
.
Определите для точек на ободе колеса
нормальное ускорение через 2 секунды
после начала вращения; тангенциальное
ускорение для этого же момента времени;
угол поворота, при котором полное
ускорение составляет с радиусом колеса
угол 45о
(230
;
4,8
;
2,67 рад).
Контрольные вопросы
1. Чему равно отношение линейной и угловой скоростей, если материальная точка движется по окружности?
2. Чему равно произведение периода вращения материальной точки на частоту вращения?
3. Часы каждые сутки отстают на 2 минуты. Чему равно угловое ускорение минутной стрелки?