4 Завдання для типових розрахунків

4.1 Комплексні числа

4.1.1 Знайти всі корені рівняння і зобразити їх на комплексній площині.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

4.1.2 Для заданих чисел та виконати вказані дії:

а) знайти значення ;

б) числа та записати в показниковій та тригонометричній формах;

в) для числа знайти всі корені степеня m та зобразити їх на комплексній площині; зробити перевірку одного з коренів;

г) число піднести до степеня k.

1. , ,

, , .

2. , ,

, , .

3. , ,

, , .

4. , ,

, , .

5. , ,

, , .

6. , ,

, , .

7. , ,

, , .

8. , ,

, , .

9. , ,

, , .

10. , ,

, , .

11. , ,

, , .

12. , ,

, , .

13. , ,

, , .

14. , ,

, , .

15. , ,

, , .

16. , ,

, , .

17. , ,

, , .

18. , ,

, , .

19. , ,

, , .

20. , ,

, , .

21. , ,

, , .

22. , ,

, , .

23. , ,

, , .

24. , ,

, , .

25. , ,

, , .

26. , ,

, , .

27. , ,

, , .

28. , ,

, , .

29. , ,

, , .

30. , ,

, , .

31. , ,

, , .

32. , ,

, , .

33. , ,

, , .

34. , ,

, , .

35. , ,

, , .

36. , ,

, , .

37. , ,

, , .

38. , ,

, , .

39. , ,

, , .

40. , ,

, , .

41. , ,

, , .

42. , ,

, , .

43. , ,

, , .

44. , ,

, , .

45. , ,

, , .

46. , ,

, , .

47. , ,

, , .

48. , ,

, , .

49. , ,

, , .

50. , ,

, , .

4.2 Функції комплексної змінної

4.2.1 Зобразити на комплексній площині множини точок, які задовольняють вказані нерівності.

1. .

2. .

3. .

4.

5. .

6.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. .

30. .

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36.

37. .

38. .

39. .

40. .

41. .

42. .

43. .

44.

45. .

46.

47. .

48. .

49. .

50. .

4.2.2 Довести, що функція аналітична на всій комплексній площині. Знайти похідну функції

а) за теоремою Коші-Рімана;

б) за таблицею похідних.

Показати, що значення похідних збігаються.

1. .

2. 

3. .

4. .

5. 

6. .

7. 

8. .

9. 

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. 

17. 

18. .

19. .

20. 

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28. .

29. 

30. .

31. 

32. .

33. .

34. 

35. 

36. .

37. .

38. .

39. .

40. 

41. .

42. .

43. .

44. .

45. 

46. .

47. .

48. .

49. 

50. 

4.2.3 Відновити аналітичну в околі функцію за заданою дійсною чи уявною частиною.

1. ,

2. ,

3. 

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. 

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

26. 

27. ,

28. ,

29. ,

30. ,

32. ,

33. ,

34. ,

36. ,

37. ,

38. ,

39. ,

40. 

41. ,

42. ,

43. ,

44. 

45. ,

46. ,

47. ,

48. ,

49. 

50. ,

4.2.4 Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної по заданій кривій.

1. ; .

2. ; .

3. ; - відрізок прямої, , .

4. ; .

5. ; .

6. ; - відрізок прямої, , .

7. ; .

8. ; .

9. ; - відрізок прямої, , .

10. ; .

11. ; .

12. ; - відрізок прямої, , .

13. ; .

14. ; .

15. ; - відрізок прямої, , .

16. ; .

17. ; .

18. ; - відрізок прямої, , .

19. ; .

20. ; .

21. ; .

22. ; - відрізок прямої, , .

23. ; .

24. ; .

25. ; - відрізок прямої, , .

26. ; .

27. ; .

28. ; - відрізок прямої, , .

29. ; .

30. ; .

31. ; - відрізок прямої, , .

32. ; .

33. ; .

34. ; .

35. ; - відрізок прямої, , .

36. ; .

37. ; .

38. ; - відрізок прямої, , .

39. ; .

40. ; .

41. ; - відрізок прямої, , .

42. ; .

43. ; .

44. ; - відрізок прямої, , .

45. ; .

46. ; .

47. ; - відрізок прямої, , .

48. ; .

49. ; .

50. ; - відрізок прямої, , .

4.2.5 Обчислити інтеграл від функції комплексної змінної по відрізку прямої :

а) виразивши його через криволінійний інтеграл;

б) за формулою Ньютона-Лейбніца.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

4.2.6 Обчислити інтеграли за допомогою інтегральної формули Коші та за допомогою теореми про лишки.

1. ; ; ; .

2. ; ; ; .

3. ; ; ; .

4. ; ; ; .

5. ; ; ; .

6. ; ; ; .

7. ; ; ; .

8. ; ; ; .

9. ; ; ; .

10. ; ; ; .

11. ; ; ; .

12. ; ; ; .

13. ; ; ; .

14. ; ; ; .

15. ; ; ; .

16. ; ; ; .

17. ; ; ; .

18. ; ; ; .

19. ; ; ; .

20. ; ; ; .

21. ; ; ; .

22. ; ; ; .

23. ; ; ; .

24. ; ; ; .

25. ; ; ; .

26. ; ; ; .

27. ; ; ; .

28. ; ; ; .

29. ; ; ; .

30. ; ; ; .

31. ; ; ; .

32. ; ; ; .

33. ; ; ; .

34. ; ; ; .

35. ; ; ; .

36. ; ; ; .

37. ; ; ; .

38. ; ; ; .

39. ; ; ; .

40. ; ; ; .

41. ; ; ; .

42. ; ; ; .

43. ; ; ; .

44. ; ; ; .

45. ; ; ; .

46. ; ; ; .

47. ; ; ; .

48. ; ; ; .

49. ; ; ; .

50. ; ; ; .

4.2.7 Для функцій та виконати такі дії:

а) розкласти функції в ряд Лорана;

б) визначити характер особливих точок;

в) вказати область збіжності ряду.

1. за степенями ; в околі точок та .

2. за степенями ; в околі точок та .

3. за степенями ; в околі точок та .

4. за степенями ; в околі точок та .

5. за степенями ; в околі точок та .

6. за степенями ; в околі точок та .

7. за степенями ; в околі точок та .

8. за степенями ; в околі точок та .

9. за степенями ; в околі точок та .

10. за степенями ; в околі точок та .

11. за степенями ; в околі точок та .

12. за степенями ; в околі точок та .

13. за степенями ; в околі точок та .

14. за степенями ; в околі точок та .

15. за степенями ; в околі точок та .

16. за степенями ; в околі точок та .

17. за степенями ; в околі точок та .

18. за степенями ; в околі точок та .

19. за степенями ; в околі точок та .

20. за степенями ; в околі точок та .

21. за степенями ; в околі точок та .

22. за степенями ; в околі точок та .

23. за степенями ; в околі точок та .

24. за степенями ; в околі точок та .

25. за степенями ; в околі точок та .

26. за степенями ; в околі точок та .

27. за степенями ; в околі точок та .

28. за степенями ; в околі точок та

29. за степенями ; в околі точок та

30. за степенями ; в околі точок та

31. за степенями ; в околі точок та

32. за степенями ; в околі точок та

33. за степенями ; в околі точок та

34. за степенями ; в околі точок та

35. за степенями ; в околі точок та

36. за степенями ; в околі точок та

37. за степенями ; в околі точок та

38. за степенями ; в околі точок та

39. за степенями ; в околі точок та

40. за степенями ; в околі точок та

41. за степенями ; в околі точок та

42. за степенями ; в околі точок та

43. за степенями ; в околі точок та

44. за степенями ; в околі точок та

45. за степенями ; в околі точок та

46. за степенями ; в околі точок та

47. за степенями ; в околі точок та

48. за степенями ; в околі точок та

49. за степенями ; в околі точок та

50. за степенями ; в околі точок та .