25. Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция (t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=(t₀). Тогда функция f((t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f((t)) непрерывна в точке t₀. 

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=(t), то |(t)-(t₀)|< может быть записано как |x-x₀|<, и f(x) превращается в F((t));

б) при определении непрерывности (t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква . Это необходимо для согласования с квантором   в предыдущей строке и взаимного уничтожения  . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

26. Классификация точек разрыва функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х₀), а в самой точке х₀ может быть как и определена, так и неопределенна.

1) Точка х₀ называется точкой разрыва 1^ого рода функции, если

а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’ , но либо функция неопределенна в точки х₀ либо f(x₀)b. Тогда точка х₀

^xx_^{+0 xx}_^-0

точка устранимого разрыва.

1,x=1

Y=(x-1)/(x-1)=

Не , x=1

б) f(x)=cb

Можно доопределить или переопределить в точке х₀, так что она станет непрерывной.

 lim f(x)=b; lim f(x)=c, но bc

^xx_^{+0 xx}_^-0

№ 27

Теоремы о свойствах функций, непрерывных на отрезке.

1. Теорема Больцано, Каши.

Если функция непрерывна на отрезке ав , и f(a);f(b)<0 , то внутри отрезка найдется точка С, такая что f(C)=0.

2. Теорема Вайллеритраса.

Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной - наименьшее.

3. Теорема

Если функция непрерывна на отрезке ав , то она ограниченна на нём.

№ 28

Определение производной. Геометрический и механический смысл

производной.

Производной f’(x) – функция f(x) в точке называется конечный предел отношения приращения функции к приращению переменной, вызвавшего приращение функции при стремлении последнего к точке .

Геометрический смысл производной- производная есть угловой коэффициент касательной , проведенной к кривой у=f(x) в точке .

Механический смысл производной – производная пути по времени s’( ) есть скорость точки в момент : v( )= s’( )

29

Теория о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций.

Если функция непрерывна, то она дифференцируема?

Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

30

Производная суммы, произведения и частного двух функций.

Производная суммы

 

Производная произведения и частного функций

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Внимание: Производная произведения двух функций НЕ РАВНА произведению производных этих функций!

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

35. Дифференцирование неявно заданной функции.

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением F(x, y) = 0.  (1) Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным. Для нахождения производной у'х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразитьу'х. Пример 1. Вычислить у'х. У5+ху-х2 = 0 Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у'+у+ху'-2х=0. Выразим у'. y'(5у4+х) = 2х-у, у' = (2х-у)/(5у4+х).