№3
Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу:
.
Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f1(y1),y1 = f2(y2), …, yn-1 = fn(x), то
№4.Обратная матрица ее график
Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией. Предположим, мы имеем функцию:
v = u 2 ,
где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v :
Если обозначить аргумент в обеих функциях через x , а функцию – через y, то мы имеем две функции:
каждая из которых является обратной по отношению к другой.
Обратная функция
Рассмотрим теперь поподробнее понятие обратной функции, введённое в начале главы.
Если 
--
взаимно-однозначное отображение
(биекция), то для любого 
однозначно
определен такой элемент 
,
что 
.
Тем самым однозначно определено
соответствие 
,
называемое обратной
функцией по
отношению к функции 
.
Обратная функция для
обозначается 
.
Таким образом,
Очевидно,
что согласно определению мы имеем
тождество 
,
то есть композиция 
--
это тождественное
отображение 
, 
для
любого
.
Точно так же 
,
то есть 
, 
, 
,
если
.
Последнее
утверждение означает, что функция,
обратная к
,
равна
: 
,
то есть что функции
и
--
это две взаимно
обратные функции.
Пример 1.21
Если
--
ограничение функции 
на
отрезок 
(это
ограничение называется главной
ветвью синуса),
то отображение 
--
биекция.
Рис.1.31.Главная ветвь синуса
Поэтому
существует обратная функция
,
называемая арксинусом и
обозначаемая 
или 
(второе
обозначение употребляется в англоязычной
математической и инженерной литературе).
Таким образом,
если 
и 
Пример 1.22
Аналогично определяется
функция арккосинус (обозначается 
или 
).
Это функция, обратная к ограничению
функции 
на
отрезок 
(такое
ограничение называется главной
ветвью косинуса):
если 
и 
Рис.1.32.Главная ветвь косинуса
Пример 1.23
Функция арктангенс (обозначается 
,
или 
,
или 
) --
это функция, обратная к ограничению
функции 
на
интервал 
,
то есть обратная кглавной
ветви тангенса:
Так
как 
--
это биекция, то обратная функция
определена при всех 
:
если 
и 
Рис.1.33.Главная ветвь тангенса
Упражнение 1.4
Дайте определение функции арккотангенс
(обозначается 
),
рассмотрев главную
ветвь котангенса --
ограничение функции 
на
интервал 
.
Упражнение 1.5 Вспомните или выведите простые соотношения, которым удовлетворяют значения функций:
а) 
и 
;
б) 
и 
.
График
обратной функции
получается
из графика исходной функции
,
если у каждой точки 
графика 
поменять
местами координаты 
и 
:
так
как
состоит
из таких точек 
,
что 
,
а 
--
из таких точек 
,
что 
;
но, согласно определению обратной
функции, равенства
и
эквивалентны.
В
случае, когда 
, 
,
перестановка координат 
геометрически
может быть описана как преобразование
симметрии относительно прямой 
,
то есть относительно биссектрисы первого
и третьего координатных углов.
Рис.1.34.Симметричные точки графиков функций и
Значит (в случае , ), графики и симметричны относительно этой биссектрисы, если ось, по которой откладываются значения аргумента функции, каждый раз размещать горизонтально.
Рис.1.35.Графики взаимно обратных функций расположены симметрично
Пример 1.24
Согласно с последним замечанием, мы
легко построим теперь графики обратных
тригонометрических функций 
и
:
Рис.1.36.Графики главной ветви и
Рис.1.37.Графики главной ветви и
№5. Четные и нечетные функции. Свойства четных и нечетных функций.
Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно начала координат). Для любого значения x выполняется равенство f (-x) = -f (x).
Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат ОУ). Для любого значения x выполняется равенство f (-x) = f (x).
Функции, которые не являются нечетными и четными, называются функциями общего вида (индифферентными функциями).
Свойства:
1) Сумма четных функций является четной функцией.
Сумма нечетных функций является нечетной функцией.
2) Если функция f четна, то и функция 1/f четна.
Если функция f нечетна, то и функция 1/f нечетна.
3) Произведение двух четных функций является четной функцией.
Произведение двух нечетных функций тоже является четной функцией.
4) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
5) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна.
№6.
Периодические функции.
Периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами. Функция, не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции).
Функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство f(x) = f(x+T).
7. Монотонные функции.
Функция называется возрастающей на отрезке [а, b], принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции
x2 > x1→ f (x2)
> f (x1) 
х1, x2 
[a, b].
Функция называется убывающей на отрезке [a, b], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции
x2 > x1→ f (x2) < f (x1) х1, x2 [a, b].
Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.
8. Числовая последовательность. Основные характеристики:
монотонность, ограниченность.
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.
Критерий ограниченности числовой последовательности
Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.
9 Предел числовой последовательности. Геометрический смысл
предела.
Определение числовой последовательности
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел
(элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются членами
последовательности: x1-первый член, x2-второй член, ... , xn-n-ый член. Числовая
последовательность обозначается так: {xn}.
Числовую последовательность задают формулой n-го члена: xn=f(n).
Если xn=const, то последовательность называется постоянной.
Числовую последовательность также можно задать рекуррентным
соотношением.
Предел числовой последовательности
Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое
число М>0, что для любого n верно неравенство:
n
x M
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (–М; M).
Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n
существует такое число М, что
xn M.
Геометрический смысл предела числовой последовательности
Число a – предел последовательности xn, если в любую окрестность числа а,
начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности
Задание. На числовой прямой дана точка х=7,1. Тогда ее «-окрестностью»
может являться интервал
1. (6,9;7,5); 2. (6,9;7,3); 3. (7,1;7,4); 4. (6,8;7,1).
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, не имеющая
его – расходящейся.
10Теорема о единственности предела сходящейся последовательности
Определение. Говорят,
что последовательность 
является
сходящейся, если 
: 
-
бесконечно малая последовательность.
Число
в
этом случае называется пределом
последовательности
.
Определение. Число
a называется пределом
последовательности 
(пишут 
),
если 
Теорема о единственности предела. Если - сходящаяся, то предел единственный.
Доказательство. Пусть 
для
определённости 
имеем:
Получили
противоречие 
предел
единственный.