2.3. Свободные колебания в среде с сопротивлением (затухающие колебания).

Рассмотренный случай свободных колебаний материальной точки является идеальным, так как в действительности при колебаниях материальных тел неизбежно возникают силы сопротивления. Это могут быть силы трения в опорах и сочленениях механизма, силы сопротивления среды (жидкой и газообразной) и т. д. Рассмотрим, как влияет на свободные колебания точки сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости.

Пусть на прямолинейно движущуюся точку массы кроме восстанавливающей силы , пропорциональной отклонению точки от положения равновесия, действует сила сопротивления , пропорциональная первой степени скорости, т. е. . Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом сопротивления. Знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону, противоположную скорости точки .

Т очка с приложенными к ней силами и оси координат изображены на рис.8.

Основное уравнение динамики точки имеет вид:

.

Спроектировав его на ось , получаем дифференциальное уравнение движения точки:

,

где , . Перенося все члены в левую часть и деля их на массу , получаем:

. (2.10)

Здесь частота свободных колебаний точки в среде без сопротивления, —величина, называемая коэффициентом затухания.

Уравнение (2.10) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при сопротивлении пропорциональном первой степени скорости. Проинтегрируем его. Это—однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение и его корни и имеют вид:

;

, . (2.11)

Характер движения существенно зависит от соотношения величин и . Возможны три случая:

1) —случай малого сопротивления;

2) —случай большого сопротивления;

3) —случай критического сопротивления.

Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1. Случай малого сопротивления .

Если , то величина под знаком квадратного корня в (2.11) отрицательная. Введем обозначение:

.

Тогда корни характеристического уравнения:

, , .

Так как корни характеристического уравнения комплексные, то общее решение дифференциального уравнения (2.10) имеет вид:

, (2.12)

где и постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования находим по начальным условиям:

при , .

Вычисляем скорость точки

(2.13)

и подставляем в (2.12) и (2.13) начальные условия , , :

,

.

Отсюда постоянные интегрирования

, ,

и уравнение движения точки принимает вид

. (2.14)

Решение (2.12) можно представить в другой, амплитудной форме. Для этого вводим новые постоянные интегрирования и :

, .

Тогда уравнение (2.12) принимает вид:

, (2.15)

где и , если их выразить через начальные условия:

,

, .

Величина положительна, угол находится в пределах от до .

Движение, определяемое уравнением (2.15), имеет колебательный характер, так как координата периодически меняет свой знак при изменении знака входящего в уравнение синуса. Множитель указывает на то, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается. Колебания такого вида называются затухающими. Их график изображен на рис. 9.

Наибольшие отклонения точки в ту и другую сторону от положения равновесия называются амплитудами колебаний, расстояние между двумя соседними наибольшими отклонениями точки называется размахом колебаний. Время , в течение которого точка совершает два размаха, называется периодом колебаний. Таким образом, период затухающих колебаний представляет собой промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение равновесия. Период колебаний равен периоду функции , т. е.

. (2.17)

Это выражение можно представить в другой форме:

,

где —период собственных гармонических колебаний этой же точки в среде без сопротивления. Из полученной формулы следует, что

,

т. е. период затухающих колебаний больше периода соответствующих собственных гармонических колебаний. В случае малого сопротивления ( ) можно приближенно считать, что

,

т. е. малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает их постепенное затухание.

Рассмотрим последовательные амплитуды , которые наступают через каждые полпериода, т. е. если первое из них произошло в момент времени , то второе—в момент , и т. д. Тогда модуль отношения двух последовательных амплитуд равен

=

= ,

т. е. максимальные отклонения точки от положения равновесия образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем

, (2.18)

называемым декрементом затухания. Его натуральный логарифм называется логарифмическим декрементом затухания:

. (2.19)

2. Случай большого сопротивления .

Корни характеристического уравнения в этом случае

,

являются действительными и отрицательными. Тогда общее решение дифференциального уравнения (2.10) имеет вид:

, (2.20)

где и —постоянные интегрирования, которые можно найти по начальным условиям , , .

Исследуем, что собой представляет график функции, определяемый формулой (2.20). Из этой формулы следует, что при , , так как . Найдем экстремум этой функции:

,

,

.

Из этой формулы видно, что если и , определяемые начальными условиями, имеют противоположные знаки, то существует один экстремум (минимум или максимум), если одинаковые знаки, то экстремума нет.

Не выполняя вычисления, можно оценить поведение этой функции и построить график рассматриваемого движения точки

При возможны три случая в зависимости от знака и величины , представленные на рис 10.

а) При ; б) При , когда | | невелик, в) При , когда | | велик.

При вид графиков движения не изменится, они будут лишь зеркально отображенными относительно оси .

Во всех этих случаях движение точки будет затухающим, не колебательным, иногда его называют апериодичным.

3. Случай критического сопротивления .

В этом случае корни характеристического уравнения

являются действительными и кратными. Общее решение дифференциального уравнения (2.10) имеет вид

. (2.21)

Постоянные интегрирования и определяются начальными условиями

, , .

Исследуем, что собой представляет график функции (2.21):

,

что проверяется после раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя,

,

,

.

Отсюда видно, что при , и функция имеет либо один экстремум (если ), либо ни одного экстремума (если ).

Таким образом, движение точки в случае критического сопротивления также будет неколебательным, апериодичным и его график в зависимости от начальных условий имеет тоже вид кривых, показанных на рис.10.