I. Динамика точки

Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. При первоначальном изучении динамики вводят абстрактное понятие о материальной точке – теле, размерами которого можно пренебречь. В дальнейшем материальную точку будем обозначать буквой , понимая под буквой данную материальную точку и массу этой точки. В основу динамики положена система законов (аксиом), справедливость которых подтверждается в практической деятельности, в развитии техники. Основные законы динамики впервые достаточно четко были сформулированы И. Ньютоном в его знаменитом труде “Математические начала натуральной философии”(1687 г.).

1.1. Законы динамики (законы Галилея-Ньютона)

Первый закон (закон инерции). Изолированная материальная точка движется без ускорения, то есть она находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

. (1.1)

Под изолированной материальной точкой понимается материальная точка, на которую не действуют другие тела, то есть не действуют силы. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Второй закон (закон пропорциональности силы и ускорения). Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, пропорциональное величине силы и имеющее направление, совпадающее с направлением силы:

. (1.2)

Обычно этот закон записывают в виде

.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия). Если одна материальная точка действует на другую материальную точку с некоторой силой, то другая точка действует на первую с силой прямо противоположной (т.е. линии действия сил совпадают, силы численно равны и имеют противоположные направления)

. (1.3)

Четвертый закон (закон независимости действия сил). Несколько сил, действующих на материальную точку, сообщают ей ускорение, равное геометрической сумме ускорений, которые сообщала ей каждая из сил, действуя в отдельности

, (1.4)

где , , , .

Системы отсчета (системы координат), в которых справедливы законы Ньютона, называются инерциальными. При решении большинства задач техники за инерциальную систему отсчета принимают систему координат, связанную с Землей, пренебрегая вращением ее вокруг своей оси. При решении задач астрономии, навигации и управления подвижными объектами, где приходится учитывать вращение Земли, в качестве инерциальной принимают систему координат, связанную со звездами.

1.2. Основное уравнение динамики точки.

Рассмотрим материальную точку, масса которой и на которую действуют силы (рис. 1).

Каждая из этих сил, действуя на материальную точку отдельно, сообщает ей ускорения , определяемые по второму закону Ньютона:

, ,…, .

Согласно четвертому закону, силы сообщают рассматриваемой точке ускорение

= .

Умножая обе части равенства на , получаем

,

где —равнодействующая всех сил, действующих на рассматриваемую материальную точку.

Уравнение

(1.5)

называется основным уравнением динамики точки и говорит о том, что несколько сил, действующих на материальную точку, сообщают ей такое же ускорение, как и равнодействующая этих сил.