4 Численное интегрирование уравнений движения центра масс ла для участка траектории

4.1 Определение угла атаки и вычисление левых частей уравнений

Траекторию полета ЛА можно условно разделить на три, резко отличающихся друг от друга участка: стартовый, ввод в режим наведения и непосредственно наведение ЛА на цель. В ряде случаев некоторые из них могут продолжаться очень короткое время, а иногда и совсем отсутствовать.

Система уравнений движения ц.м. ЛА на всех этих участках формально выглядит одинаково:

,

где ; .

Уравнение для определения массы ЛА исключено, так как исследуемые ЛА имеют ракетные двигатели. Масса может быть определена в любой момент времени:

при ; при .

На каждом из этих участков будут различными условия замыкания, а при движении ЛА по направляющим еще появится и дополнительная сила. При решении рассматриваемых задач встречается три вида замыканий: задается угол атаки, величина нормальной скоростной нагрузки или величина угловой скорости вращения вектора скорости. Причем третий вариант замыкания может также рассматриваться, как второй: , а по известному значению можно определить необходимый угол атаки. Для данной системы уравнений единственным управляющим фактором является угол атаки. Так как все аэродинамические коэффициенты нелинейно зависят от угла атаки, то его значение приходится определять графически или итерациями.

В процессе замыкания этой системы должен быть определен угол атаки и в этом случае правые части этой системы легко определяются и, следовательно, система может быть проинтегрирована (численно).

При решении поставленных задач интегрируется система упрощенных уравнений, описывающих движение центра масс ЛА в вертикальной плоскости. Единственным управляющим фактором этой системы является угол атаки. Причем идеальная система управления позволяет даже мгновенное изменение этого параметра, как и некоторых других (например, тяги силовой установки). Даже при таких упрощениях она представляет систему нелинейных дифференциальных уравнений, которую можно численно проинтегрировать при соответствующих замыкающих условиях. Существует много различных методов численного интегрирования. Но при использовании любого из этих методов основную трудоемкость представляет вычисление правых частей этих уравнений, т.е. численное определение значений производных при заданных условиях.

В процессе численного интегрирования системы уравнений движения центра масс ЛА необходимо на каждом шаге вычислять правые части этих уравнений, т.е. определять численные значения производных интересующих нас величин. Эти вычисления удобно выполнять в таблицах. Например, табл. 6.1.

Таблица 4.1 – Численное интегрирование

1	2	3	4	5	6	7	8	9
						градусы
10	11	12	13	14	15	16	17	18
-	-
19	20	21	22	23	24	25	26	27
-		-	-	-	-	-	градус	-
28	29	30	31	32	33	34	35	36
-		-		-	-		-

В данный момент времени известны (или могут быть найдены) практически все параметры ЛА и цели, а также среды, в которых происходит движение. Для данной системы уравнений угол атаки является единственным управляющим фактором, и дальнейшее движение ЛА фактически зависит только от него. Только задав (определив) значение угла атаки на следующем шаге, можно рассчитать и движение ЛА на этом шаге.

Физический смысл и формулы для вычислений основных параметров в этой табл. 6.1. В располагается время полета, а в и - скорость и координаты расположения ЛА. Здесь и далее в квадратных скобках указан номер столбца (колонки). В столбце указана горизонтальная составляющая координата цели. Рассматривается только равномерный горизонтальный полет цели и поэтому скорость и высота полета цели не изменяются ( , ) и в таблицу их можно не включать. По этой же причине в таблицу также не включена и тяга ЛА. Однако следует не забывать, что значение тяги в момент отсечки мгновенно уменьшается до нуля и появляется донное сопротивление.

Горизонтальная координата цели а также расстояние между целью и перехватчиком определяются (вычисляются) по следующим формулам:

;

.

Значение угла визирования:

.

Значения угла упреждения вычисляются через и :

Здесь - коэффициент для перевода угловых значений из радиан в градусы.

Значения этих первых девяти величин известны и могут быть сразу занесены в таблицу (из распечатки).

В следующих четырёх колонках записываются значения косинуса и синуса угла наклона траектории к горизонту и вычисляются правые части третьего и четвёртого уравнений.

Следующие три параметра и характеризуют среду (давление, скорость звука и ускорение земного притяжения) и определяются по графикам, построенным по данным таблицы 1.1 для нужного диапазона высот.

Далее определяются вес ЛА, число и произведение скоростного напора на характерную площадь:

;

;

.

Для соответствующих параметров полёта ( и ) с графиков снимаются значения коэффициентов трения , донного сопротивления и волнового сопротивления .

Коэффициент лобового сопротивления :

Для данного числа определяется по графикам величина производной коэффициента подъёмной силы по углу атаки .

Угол атаки также можно определить, используя следующую итерационную формулу:

.

Для метода совмещения итерации удобно выполнять в следующей последовательности:

1. задаем начальное значение угла атаки ; если расчёт только начинается, то можно принять, что ; если расчёт продолжается, то в качестве начального приближение значения угла атаки удобно принимать его значение на предыдущем шаге;

2. далее выполняем операции с колонками табл. 6.1: по углу атаки определяем значение коэффициента индуктивного сопротивления, коэффициента и силы лобового сопротивления, тангенциальной перегрузки и параметра ; вычисляем значение параметра , а затем и величину нормальной скоростной перегрузки ;

3. по вычисленному значению определяем числитель итерационной формулы:

;

4. по углу атаки определяем коэффициент ;

5. вычисляем знаменатель итерационной формулы;

6. определяем итерационное значение угла атаки;

7. сравнивая полученное значение угла атаки с предыдущим, определяем погрешность. Если заданная точность не достигнута, то необходимо повторить весь процесс вычислений, начиная с пункта 2, приняв вычисленное значение угла атаки за начальное. Процесс продолжается до достижения заданной точности.

Для проведения итераций в этом случае можно рекомендовать табл. 6.2.

Таблица 4.2 – Определение угла атаки

100	101	102	103	104	105	106	107	108
-	-		-	градус	-	-		-
109	110	111	112	113	114	115	116	117
				-	градус	-	-	градус

Здесь:

;

;

;

;

.

Фактически здесь итерационный процесс протекает между 104 и 117 столбцами или их аналогами, так как при этом другие величины остаются без изменения

По приведенному выше алгоритму находим угол атаки . По и находим .

;

;

;

;

Значение определяем из графиков.

;

;

;

.

Дальнейшие операции зависят от используемого метода интегрирования.