Системы линейных однородных уравнений, свойства их решений.
Пусть дана однородная система
(1)
Рассмотрим соответствующую неоднородную систему
(2)
С помощью матриц
, 
, 
, 
эти системы можно записать в матричном виде.
. (3)
. (4)
Справедливы следующие свойства решений однородной и неоднородной систем.
Теорема 1. Линейная комбинация решений однородной системы (1) является решением системы (1).
Доказательство.
Пусть 
, 
и 
-
решения однородной системы (1). Рассмотрим 
,
где 
, 
и 
-
некоторые произвольные числа. Так
как
,
и
являются
решениями, то
, 
и 
.
Найдем 
.
.
является
решением системы (1).
Теорема 2. Разность двух решений неоднородной системы (2) является решением однородной системы (1).
Доказательство.
Пусть
и
-
решения системы (2). Рассмотрим 
.
, 
.
.
является решением однородной системы (1).
Теорема 3. Сумма решения однородной системы (1) с решением неоднородной системы (8.2) есть решение неоднородной системы (2).
Пусть
-
решение системы (1), 
-
решение системы (2). Покажем, что 
-
решение системы (2).
Доказательство. , .
.
является
решением неоднородной системы (2).
Линейные операции над векторами.
Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
Сложение
векторов. Пусть 
и 
–
два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку О и
построим вектор 
;
затем от точки А отложим
вектор 
.
Вектор 
,
соединяющий начало первого слагаемого
вектора с концом второго, называется суммой этих
векторов и обозначается 
(рис.
1).
Рис. 1
Ту же
сумму можно получить иным способом.
Отложим от точки О векторы
и 
.
Построим на этих векторах как на сторонах
параллелограмм ОАСВ.
Вектор 
–
диагональ параллелограмма – является
суммой векторов
и
(рис.
2).
Рис. 2
Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).
Рис. 3
Вычитание
векторов. Разностью 
векторов
и
называется
такой вектор 
,
который в сумме с вектором
дает
вектор
: 
.
Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).
Рис. 4
Таким
образом, если на векторах
и
,
отложенных из общей точки О,
построить параллелограмм ОАСВ,
то вектор
,
совпадающий с одной диагональю, равен
сумме
,
а вектор 
,
совпадающий с другой диагональю, –
разности
(рис.
5).
Рис. 5
Умножение
вектора на число. Произведением вектора
на
действительное число 
называется
вектор
(обозначают 
),
определяемый следующими условиями:
1) 
,
2) 
при 
и 
при 
.
Очевидно,
что при 
.
Построим,
например, векторы 
и 
для
заданного вектора 
(рис.
6).
Рис. 6
Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :
(2.1)
Свойства линейных операций:
1) 
;
2) 
;
3) 
; 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
; 
;
Пусть
дан вектор
. Ортом вектора
(обозначается 
)
называется вектор единичной длины,
сонаправленный с вектором
.
Очевидно, 
для
любого вектора
.