Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A B.
Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,
.
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.
Пример 2 Найти ранг матрицы
А= 
и привести ее к каноническому виду.
Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
.
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:
;
из третьей строки вычтем первую; получим матрицу
В
= 
,
которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:
.
Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Система 
линейных
алгебраических уравнений с 
неизвестными —
это система уравнений вида
Здесь 
—
неизвестные, которые надо определить.
Коэффициенты системы 
и
её свободные члены 
предполагаются
известными. Индексы коэффициента 
системы
обозначают номера уравнения 
и
неизвестного 
,
при котором стоит этот коэффициент.
Система
называется однородной,
если все её свободные члены равны
нулю, 
,
иначе — неоднородной.
Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных.
Решение
системы уравнений —
совокупность
чисел 
,
таких что подстановка каждого 
вместо 
в
систему обращает все её уравнения в
тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. Совместная система может иметь одно или более решений.
Решения
и 
совместной
системы называются различными,
если нарушается хотя бы одно из равенств:
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.