16. Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении).

Рассмотрим точки A₁ (x₁; y₁; z₁) и A₂ (x₂; y₂; z₂) и найдем расстояние между этими точками. Пусть вначале прямая A₁A₂ не параллельна оси z (чертеж 9.4.1).

Проведем через точки   и   прямые, параллельные оси z. Пусть эти прямые пересекут плоскость xy в точках   и   Заметим, что поскольку эти точки лежат в плоскости xy, то координата z у них равна нулю. Проведем плоскость через точку   параллельную плоскости xy. Пусть эта плоскость пересекает прямую   в точке C. Применим теорему Пифагора к треугольнику     Очевидно, что отрезки   и   равны, а согласно теореме Пифагора на плоскости xy, получаем, что   Поскольку длина отрезка   равна   то окончательно имеем 

Если же окажется, что отрезок   параллелен оси z, то   Но тот же результат дает полученная формула, так как в этом случае   

Итак, доказана следующая

Т еорема 9.7. 

Расстояние между точками A₁ и A₂ можно вычислить по формуле 

О пределение 9.14. 

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, называется радиус-вектором данной точки.

Рассмотрим некоторую точку M в пространстве с координатами (x; y; z). Пусть M₁, M₂, M₃ – точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку Mперпендикулярно к этим осям (чертеж 9.4.2). Тогда

По определению координаты точки M   Значит,   Совершенно аналогично     Получается, что   Тем самым доказана следующая

Т еорема 9.8. 

Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

Рассмотрим теперь две точки   и   По только что доказанному,   Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Но длина вектора   по определению равна длине отрезка   а длина этого отрезка есть расстояние между точками   и   Значит, 

Эта формула позволяет вычислять длину вектора, зная его координаты.

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА

1. Если x1 и y1 - координаты точки A, а x2 и y2 - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении  , определяются по формулам

Если  , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

17. Общее уравнение прямой на плоскости, его частные случаи.

   Общее уравнение  Ax + By + C = 0

     Вектор   = (А; В) - нормальный вектор прямой.

     Частные случаи:

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0 - ось Ox;

     5) x = 0 - ось Oy.      Уравнение прямой в отрезках 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.      Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11) 

где   - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

     Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь   - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если   и произвольно, если C = 0.