1. Матрицы, основные понятия.

Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа.Матрицей размера m на n (записывается так   )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицыобозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами:   - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

 - множество всех матриц размера m на n;

 - матрица A с элементами   в позиции (i,j);

 - матрица размера m на n.

Элементы   , где i=j, называются диагональными, а элементы   , где   - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов   , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера   существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Матрица размера   называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера   называется матрицей столбцом или вектор-столбцом. 

2. Алгебра матриц. Сложение матриц.

Определение. Суммой матриц   и   одинаковой размерности   называется третьяматрица   такой же размерности  , где ее элементы   определяются равенством   для всех значений индексов.

Обозначение:  .

Другими словами, для того, чтобы найти сумму двух матриц одинаковой размерности, нужно сложить соответствующие элементы (т.е. элементы, имеющие одинаковые нижние индексы) этих матриц.

Замечание. Сложение матриц различных размеров не определено. (Их нельзя складывать!)

Умножение матрицы на скаляр

Определение. Произведением скаляра   на матрицу   называется матрица   тех же размеров, что и матрица А, где элементы   определяются равенством  , для всех значений индексов.

Обозначение:  .

Другими словами, для того, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно каждый элемент матрицы умножить на данный скаляр.

Умножение матриц

Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу:

.

Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено.