9.3 Условие устойчивости.

Как и в случае ОДУ, решение УЧП должно быть устойчивым, точным, эффективным. Устойчивость важна для явных разностных схем, и при ее нарушении не будет сходимости численного решения к точному даже при очень мелких шагах дискретизации. Как и при решении ОДУ, неустойчивость связана с усилением шумовых составляющих решения. Условие устойчивости показывает, что изменения шагов дискретизации по разным независимым переменным должны быть согласованы для получения требуемой точности. Условие устойчивости существует для любой явной разностной схемы, и оно определяется уравнением и схемой. Например, для уравнения переноса с разностной схемой (9.8) условие устойчивости имеет вид

,

(9.11)

Для вывода условия устойчивости можно применить спектральный метод. Он сравнивает амплитуды гармонических составляющих на соседних слоях рис. 9.1 Пусть для слоя с номером m рассматривается пространственная гармоника вида

,

(9.12)

где - амплитуда гармоники,- волновое число,- шаг дискретизации по. На следующем временном слое эта гармоника изменит только свою комплексную амплитуду, т.е. будет иметь вид

.

(9.13)

Подставим (9.12), (9.13) в разностное уравнение (9.8) и получим отношение комплексных амплитуд

.

(9.14)

Устойчивость важна для убывающих решений (см. лекцию 7) и поэтому амплитуды любых гармоник, особенно шумовых, не должны возрастать, а иначе будет развиваться неустойчивость. Запишем это условие в виде

,

(9.15)

где

.

(9.16)

Очевидно, что при для любых значенийусловие устойчивости не выполняется, и отсюда для уравнений переноса с разностной схемой (9.8) следует условие устойчивости, т.е. (9.11).

Выведем теперь условие устойчивости для неявной разностной схемы (9.9), сводящейся к схеме бегущего счета (9.10). Подставляя (9.12) и (9.13) в (9.10) получим

.

(9.17)

,

т.е. неявная разностная схема устойчива при любых «» (безусловна устойчива).

9.4. Численное решение одномерного уравнения теплопроводности.

Одномерное уравнение теплопроводности имеет вид:

(9.18)

и решается с учетом начальных и краевых условий

, ,

(9.19)

в области при. Четырехточечный показанный на рис.9.4

Рис. 9.4. Шаблон для уравнения теплопроводности (9.18).

Приводит к явной разностной схеме

,

(9.20)

При заданных начальных и краевых условиях:

, ,

(9.21)

Эту схему можно преобразовать к удобному для расчетов виду:

,

(9.22)

где .

Начиная расчет с временного слоя и используя начальные условия,и граничные условия,, можно рассчитатьприв заданном интервале времени.

Схема (9.22) имеет в общем случае погрешность . Можно однако показать, что при(что достигается выбором отношения шагов), погрешности вычисления производных поивзаимно компенсируются и погрешность схемы уменьшается до. Для вывода условий устойчивости схемы рассматриваем, как и выше, гармоническое изменениепов виде (9.12), (9.13). Подставляя эти выражения в (9.22), получим

,

(9.23)

Откуда следует, что независимо от значения имеемпри, т.е. при

.

(9.23)

Это и есть условие на шаги и, при которых схема (9.22) устойчива.