ЛЕКЦИЯ 9. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

9.1 Уравнения в частных производных и дополнительные условия.

В лекциях 6 - 8 рассматривались ОДУ, которые определяли функцию или вектор-функцию одной независимой переменной.

Уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение для функции многих переменных и оно определяет связь частных производных этой функции. В простейшем случае двух независимых переменных, например, ,, уравнение в частных производных 1-го порядка для функцииимеет вид

(9.1)

Требуется найти функцию . В общем случае ввходят производные более высоких порядков, которые и определяют порядок уравнения. При решении трехмерных задач электродинамики, теплопроводности и других искомые функция зависят от четырех переменных – трех координат и времени. Приведем ряд конкретных, часто встречающихся уравнений.

Волновое уравнение , где- оператор Лапласа, который в декартовых координатах,,имеет вид,- заданная функция, если, то имеем однородное волновое уравнение. Волновое уравнение описывает распространение электромагнитных, звуковых или иных волн со скоростью, определяемой природой этих волн.

Приведем вывод волнового уравнения для плоской волны электромагнитного поля в вакууме, удовлетворяющего уравнениям Максвелла:

, ,,,

где ,- напряженность электрического и магнитного,,- плотность электрического тока и заряда, возбуждающих поле,,- диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума. В плоской волне, распространяющейся в направлении, существуют только две компоненты поля, зависящее только от,(рис. 9.1).

,

Учитывая, что в декартовых координатах

,

,

получим из первых двух уравнений Максвелла

, .

Дифференцируя первое из этих уравнений по , а второе по, и исключая, придем к неоднородному волновому уравнению для:

,

где - скорость света в вакууме.

Уравнение Пуассона . Оно получается из уравнений Максвелла для электростатического, не зависящего от времениполя (). Тогдаи можно ввести потенциал электрического поля,, т.к..

В декартовых координатах, согласно определению градиента для вектора имеем

, .

В результате из 4-го уравнения Максвелла получается уравнение Пуассона в декартовых координатах

.

В общем виде случае произвольных координат получается ; оператор Лапласа определяется при этом как.

Уравнение Лапласа . Оно определяет потенциал электростатического поля при отсутствии свободных зарядов,, когда поле возникает только из-за разности потенциалов на отдельных электродах, например на обкладках конденсатора.

Уравнение теплопроводности определяет распределение температурыв теле; постоянная «» определяется свойствами материала, и называется коэффициентом теплопроводности. Это уравнение описывает также процесс диффузии газа; в этом случае-плотность газа,- коэффициент диффузии.

Уравнение переноса.

,

(9.2)

Оно описывает распространение в пространстве различных возмущений, причем скорость распространения характеризует величина . Нетрудно проверить, что прилюбая функция вида, т.е. с аргументом, является решением (9.2) и поэтому для определения конкретного решения должны быть заданы дополнительные условия.

Обычно при решении уравнения в частных производных задают либо начальные условия, либо граничные, либо те и другие. Эти условия записываются в виде равенств со значениями или известными функциями в правой части. Например, начальное условие для (9.2) задается в виде

,

(9.3)

а граничное - в виде

,

(9.4)

где ,- конкретные заданные функции.

В случае уравнения (9.2) с начальным условием (9.3) получим решение

.

(9.5)

Рисуя функцию с различными сдвигами по , получим распространение возмущений вдоль оси.