11.6. Сравнение дпф и апф.

АПФ – это аналоговое преобразование Фурье. Оно определяет коэффициенты Фурье для аналогового сигнала, т.е. для непрерывной функции . Его формулы записаны в выше. Здесь укажем лишь на различия формул ДПФ и АПФ для периодического сигнала.

В (11.15), (11.16) суммируется конечное количество гармоник, а в АПФ их количество может быть бесконечным.

В (11.17), (11.18), (11.19), (11.20) при вычислении коэффициентов используются суммы, а в АПФ – интегралы, т.е. рассматривается бесконечно большое количество отсчетов на периоде.

С помощью интегралов в АПФ могут быть легко вычислены спектры лишь нескольких простых сигналов, а основное достоинство ДПФ – это возможность вычисления спектров любых дискретных сигналов.

11.7. Периодичность спектра.

Выше указывалось, что ДПФ дает гармоники с номерами от до . Что будет, если вычислить гармонику с номером ?

Пусть , т.е. , т.к. . Используя (11.17), получим

,

(11.21)

т.к. .

Получили

,

(11.22)

Аналогичным образом получим

,

(11.23)

Эти формулы означают, что спектр ДПФ периодический по , т.к. . Кроме того, относительно имеется симметрия для и антисимметрия для .

Следовательно, если амплитудный спектр известен для гармоник , то далее все повторяется и поэтому вычисления при никогда не проводятся, см.рис.11.3.

Рис.11.3. Периодичность спектра ДПФ.

Отметим, что с помощью ДПФ (при ) правильно вычисляется половинка любой "шапочки" рис.11.3, что используется при вычислении спектров модулированных сигналов, например, для .

11.8. Применение дпф для интерполяции и аппроксимации.

Если задан дискретный периодический сигнал , то прямое ДПФ (11.15) можно использовать для его интерполяции, т.е. для определения значений для любых вещественных , а не только для . При этом по аналогии со сплайном сначала должны быть вычислены все коэффициенты , , а затем выполнена интерполяция. Но этот способ мало эффективен из-за большого количества операций для вычислений функций , .

Полученная непрерывная функция будет точно проходить через заданные точки, соответствующие целым значениям . Но если при вычислении суммы в (11.15) часть гармоник отбросить, то получим аппроксимацию, т.е. непрерывная функция будет близка к исходным точкам. Это позволяет, например, устранять шумы или помехи в сигналах.