4. Деякі відомості по теорії ймовірності і випадкових помилок

Якщо кожне вимірювання дає відмінні від інших вимірювань результати, ми маємо справу з ситуацією, коли випадкова помилка грає суттєву роль. При цьому всі оцінки точності вимірювання можна зробити лише з деякою ймовірністю.

Звичайно приймається, що помилки підкоряються нормальному закону розподілу:

– помилки вимірювань можуть приймати безперервний ряд значень;

– при великому числі спостережень помилки однакової величини, але різного знаку зустрічаються однаково часто;

– частота появи помилок зменшується із збільшенням помилки.

Найбільш ймовірною оцінкою дійсного значення вимірюваної величини є середнє арифметичне (постулат Гауса).

Для характеристики величини випадкової помилки необхідно задати два числа: величину самої помилки або довірчий інтервал і величину довірчої ймовірності.

Довірчою ймовірністю серії спостережень називається ймовірність того, що дійсне значення х знаходиться усередині деякого інтервалу [ ], а сам інтервал називається довірчим.

Довірча ймовірність знаходиться по значеннях

де – дисперсія середнього арифметичного значення х.

Практичне значення мають 3 значення довірчої ймовірності: що відповідає довірчій ймовірності 0,68, – 0,95, – 0,997. Функції розподілу помилок для малих вибірок (n < 30) відрізняються від нормального розподілу. Проте для обчислень можна користуватися нормальним розподілом, якщо для розрахунку довірчого інтервалу ввести коефіцієнт Стьюдента, який є функцією доверительней ймовірності  і числа вимірювань n

,

де S – середнє квадратичне відхилення середнього х.

У тих випадках, коли закон розподілу помилок відрізняється від нормального, довірчу ймовірність можна оцінити, скориставшись так званою нерівністю Чебишева, яка одержана для довільного закону розподілу і має загальний характер

.

При обробці результатів ставлять наступні задачі:

– знайти дійсне значення вимірюваної величини за результатами повторних вимірювань;

– оцінити погрішність набутого значення;

– оцінити достовірність і надійність результату;

– визначся необхідна кількість вимірювань для досягнення заданої точності. Для одноразових вимірювань придатний прилад, що володіє малою випадковою складовою погрішності при співвідношенні

,

де Δх_к – ціна ділення приладу; Sх – нормально розподілена випадкова погрішність. Для вимірювання з багаторазовими спостереженнями необхідно використовувати прилад чутливіший, володіючий значною випадковою складовою погрішності при співвідношенні

5. Порядок обробки результатів вимірювань

При прямих вимірюваннях.

1) Кожне спостереження занести в таблицю, в якій також розмістити результати обчислень.

2) Середнє арифметичне вибірки

.

3) Відхилення

4) Квадрати відхилень .

5) Середньоквадратичне відхилення спостережень

.

6) Середньоквадратичне відхилення результату вимірювань

.

При необхідності виконують перевірку гіпотеза про нормальність розподілу результатів спостережень. Якщо нормальність гарантована фізикою явища або статистикою багатьох попередників, її можна не перевіряти по статистичних критеріях, але будувати розподіл все одно корисно, щоб вчасно помітити грубі помилки методики.

При n < 15 перевірка гіпотези не проводиться, оскільки не існує надійних критеріїв. При 15< n <50 розроблені критерії перевірки гіпотези з рівнем значущості від 10 до 20%. При 50< n <100 існують критерії високої надійності.

7) Задаючись значенням довірчої ймовірності, знайти коефіцієнт Стьюдента t_,n (табл. 1.1) для даного числа вимірювань п.

8) Знайти максимальну погрішність

.

Таблиця 1. - Коефіцієнт Стьюдента t_,n

n	0,8	0,9	0,95
2	3,1	6,3	12,7
3	1,9	2,9	4,3
4	1,6	2,4	3,2
5	1,5	2,1	2,8
6	1,5	2,0	2,6
7	1,4	1,9	2,4
8	1,4	1,9	2,4
9	1,4	1,9	2,3
10	1,4	1,8	2,3

9) Визначити наявність грубих помилок (оцінка анормальності результатів спостережень):

– знайти ;

– по кількості вимірювань п і рівню значущості знайти U

– порівняти U_max, U_min, U, якщо U_max або U_min більше за U, то результат відкинути і виконати п.п. 1-8.

10) Врахувати систематичну погрішність

.

11) Одержане числове значення результату округляють.

12) Відносна погрішність вимірювання

.

13) Результати вимірювання

.

При непрямих вимірюваннях.

Послідовність обчислень колишня. Довірча вірогідність задається для всіх вимірюваних величин одна і та ж. Погрішність результату непрямого вимірювання визначається по формулах відповідно до конкретного виду функціональної залежності:

(число вимірювань мало);

(число вимірювань велике).

Відносна погрішність

.

Результат вимірювання

.

Приводимо погрішність для деяких приватних функцій:

1) , , , , ;

2) , , , , ;

3) , , , , ;

4) , , , , ;

5) , , , , ;

6) , , , , ;

7) , , , , ;

8) , , , , ;

9) , , , , ;

10) , , , , ;

11) , , , , .