Лекции по вычмату преподавателя Друка / L017

Лекция 17. ОПТИМИЗАЗИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ И МЕТОД ХУКА-ДЖИВСА ДЛЯ ПРЯМОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА.

Задачи отыскания минимума при ограничениях формулируется следующим образом: найти минимум целевой функции

,

(17.1)

при ограничениях типа равенств

,

(17.2)

и типа неравенств

,

(17.3)

Ограничения типа равенств задают дополнительные связи между переменными , , а неравенства ограничивают область поиска минимума . При простых видах ограничений типа равенств можно исключить часть переменных и понизить размерность задачи. Например, при линейной связи , где коэффициенты заданы, можно от трех переменных перейти к двум и решать для них задачу безусловной минимизации. Однако функции , имеют обычно сложный нелинейный вид. При этом для решения задачи с ограничениями используют метод штрафных функций. Идея метода состоит в замене искомой целевой функции на целевую функцию , учитывающую ограничения (17.2), (17.3).

Функцию можно вводить по-разному. Рассмотрим два варианта.

1-й вариант:

,

(17.4)

где постоянные , , .

Если все ограничения выполняются, то обе суммы равны 0, и минимизация эквивалентна минимизации при учете ограничений. Если ограничения не выполняются, то отличие определяется суммами в , одновременно минимизируем и уменьшаем штраф.

Величина штрафа регулируется параметрами , выбор которых представляет сложную проблему. При малых значениях , штраф мал и ограничения плохо выполняются. При больший , штраф велик, но найденный минимум функции может сильно отличаться от искомого минимума при учете ограничений.

Поэтому для получения надежного результата приходится проводить большое число расчетов при разных , . Задача осложняется также тем, что с увеличением этих параметров рельеф функции усложняется, принимает овражный характер.

Пример. Найти минимум функции

(17.5)

при ограничении

(17.6)

решение примера

2-й вариант:

Вместо минимизации штрафом (как в 1-м варианте) используется рост штрафа при приближении к границе заданной области т.н. «барьерные» штрафные функции. Пусть уравнения границ области, в которой проводится поиск минимума , заданы в виде

(17.12)

Для учета этих ограничений вводится функция

,

(17.13)

растущая при приближении к границе, , и таким образом, отталкивающая точку поиска от границы. Проводя серию поисков минимума для возрастающих , будем подходить все ближе к границе, если лежит вне области, заданной границами (17.12).