4.3. Контроль точности вычисления производной.

В задачах моделирования правильный шаг дискретизации обычно неизвестен и его выбирают либо произвольным, либо на основании физических соображений о малом изменении дифференцируемой функции на шаге. При выборе метода руководствуются соображениями простоты, точности, эффективности. Пусть метод и шаг выбраны, и выполнено вычисление производной , т.е. получено число. Как проверить правильность выбора шага для расчетов?

Контроль точности вычислений выполняется следующим образом: расчет повторяется либо с другим шагом (обычно с шагом ), либо другим методом. Если различие двух полученных значений соответствует допустимой погрешности EPS, то значение производной принимается. В противном случае переходят к более мелкому шагу и контроль повторяется. Это соответствует автоматическому выбору шага дискретизации.

Из-за существенного влияния погрешностей численное дифференцирование применять без контроля нельзя.

В системе MathCAD для численного дифференцирования непрерывной функции в выбранной точке используется оператор . Полученное значение является результатом использования формулы (4.3) и более сложной формулы для контроля точности, учитывающей 4 соседних точки, т.е. шаг дискретизации определяется автоматически. В случае, если исследователь рассматривает дискретную функцию с произвольным шагом дискретизации , то при ее численном дифференцировании он должен обязательно подумать о контроле точности.

4.4. Численное интегрирование.

Применение и методы численного интегрирования аналогичны численному дифференцированию, т.е. численное интегрирование выполняется для дискретных и непрерывных функций и при этом для интерполяции используются полиномы и сплайны.

Постановка задачи. Дана дискретная или непрерывная функция . Вычислить на отрезке значение интеграла

,

(4.11)

причем погрешность не должна превышать заданное значение EPS. Интеграл геометрически определяет площадь под кривой .

Любую формулу численного интегрирования можно записать в виде суммы всех ординат c весовыми коэффициентами , 1, 2, ..., ,

,

(4.12)

где - это приближенное значение . Значения весовых коэффициентов определяются шагом дискретизации и методом интерполяции. Самые известные методы численного интегрирования  - метод трапеций и метод Симпсона - используют линейную и параболическую интерполяцию соответственно.

При линейной интерполяции в методе трапеций график функции представлен в виде ломаной, соединяющей точки . В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных трапеций (рис.4.2).

Рис.4.2.

, , и в результате при постоянном шаге дискретизации получается формула трапеций:

(4.13)

Эту формулу можно получить также, рассматривая сумму площадей прямоугольников высоты и ширины для всех внутренних точек и ширины для двух крайних точек.

Парабола в методе Симпсона проводится через каждые три точки, т.е. значение   должно быть нечетным. Разобьем отрезок интегрирования на четное число отрезков , ….

На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим параболой , , коэффициенты которой определяются любым из рассмотренных методов интерполяции по трем точкам , , . Тогда элементарная площадь под параболой вычисляется. Применяя, например, параболическую интерполяцию п.4.1, получим:

.

В результате суммирования получается формула Симпсона:

(4.14)

В (4.14) все четные ординаты имеют множитель 4, а все нечетные, кроме первой и последней, множитель 2.

Формулы численного интегрирования включают все погрешности, рассмотренные для численного дифференцирования. Исследования погрешности метода показывают, что при малых шагах дискретизации погрешность формулы трапеций пропорциональна , а погрешность формулы Симпсона пропорциональна , т. е. при заданной погрешности EPS формула Симпсона допускает более крупные шаги. Отметим, что формула Симпсона точна, если исходная функция является кубическим полиномом.

Для погрешностей исходных данных и округления можно также получить оценки, аналогичные (4.9). Очевидно, что в случае большого количества точек абсолютные погрешности для всех слагаемых могут суммироваться, и тогда для формул трапеций и Симпсона можно в качестве оценки взять погрешность максимальное значение , 

где - количество точек. Видим, что полученное значение не зависит от шага . Зависимость суммарной погрешности от шага дискретизация показана на рис. 4.3. 

Рис 4.3. Зависимость суммарной погрешности численного интегрирования от шага дискретизации .

Отметим, что обычно относительные погрешности результатов численного интегрирования меньше, чем численного дифференцирования.

Контроль точности вычисления интеграла любым численным методом аналогичен численному дифференцированию.

В системе MathCAD для непрерывных функций применяется сложный метод вычисления интеграла — метод Ромберга, основанный на методе трапеций. Метод трапеций с шагами и используется в нем для контроля точности полученного значения интеграла, автоматического выбора шага и для уменьшения погрешности полученного значения . Отметим, что при этом величина начального шага для вычисления площади трапеции по (4.13) равна .

В случае дискретных функций с произвольным шагом дискретизации при вычислении интеграла необходимо помнить о влиянии погрешностей и контроле точности, т.к. поведение исследуемой функции между узлами может существенно отличаться от вида интерполяции, применяемого при выводе конкретных формул численного интегрирования.