|
Лекция 4. Численное дифференцирование и численное интегрирование. |
Численное дифференцирование применяется в численных методах и при моделировании. Численное дифференцирование применяют для аналитических математических моделей, если дифференцирование по обычным формулам очень сложно, или для алгоритмических математических моделей, когда обычное дифференцирование невозможно.
4.1. Вычисление производных.
Постановка
задачи:
дана непрерывная
или дискретная функция
и требуется вычислить производную 
в произвольной точке
.
Далее для значения производной будем
использовать штрих < ' >.
В обоих случаях для вычисления производной применяют интерполяцию полиномами или сплайнами. Если исходные точки дискретной функции имеют погрешность, то вместо интерполяции нужно использовать аппроксимацию. В этом же случае можно применять и интерполяцию, но ей должно предшествовать сглаживание.
Наиболее
широкое применение имеют формулы
численного дифференцирования, полученные
с применением локальной интерполяции
полиномом. Полином степени
строится для текущей точки
и учитывает несколько соседних точек
непрерывной или дискретной функции.
Пусть
имеем постоянный шаг
дискретизации функции вблизи точки
дифференцирования
и значения функции
,
,
в точках
,
,
соответственно. Для этих трех точек
можно выполнить линейную и параболическую
интерполяцию известными методами:
,
,
,
Дифференцируя
эти две прямых или параболу в точке
,
получаем три известных формулы для
вычисления
:
|
|
(4.1) |
|
|
(4.2) |
|
|
(4.3) |
Формула (4.1) называется левой, т.к. использует соседнюю точку слева, формула (4.2) называется правой, формула (4.3) - симметричной, т.к. парабола учитывает левую и правую соседние точки.
Эти
же формулы можно получить через конечные
разности
и
,
которые используются в строгом определении
производной как 
.
Очевидно, что в формулах (4.1-4.3) используются
конечные разности 
и
,
а
опущен. Отметим, что (4.3) можно рассматривать
как среднее значение для двух первых
формул, т.е. она точнее.
Дифференцируя
ту же параболу, что и при выводе (4.3),
нетрудно получить известную формулу
для второй производной в точке
:
|
|
(4.4) |
Эта же формула получится, если использовать при выводе разность левой и правой производных первого порядка.
Формулы (4.1-4.4) получены с применением линейной или параболической интерполяции. Но можно применить полиномы более высоких степеней, которые учитывают больше соседних точек, а также кубический сплайн. В случае сплайна производные вычисляются через коэффициенты (2.2) для заданных точек или дифференцированием (2.1) для точек между узлами интерполяции, но это требует значительного количества операций по сравнению с простыми формулами (4.1-4.4).
При вычислениях по (4.1-4.4) нужно знать, как выбирать шаг дискретизации h для непрерывной или дискретной функции. Если на отрезке интерполяции исходная функция и полученная в результате интерполяции не совпадают, то производные будут иметь погрешность. Очевидно, что эта погрешность возрастает при увеличении шага дискретизации.
4.2. Погрешности численного дифференцирования.
При численном дифференцирования возникают следующие погрешности:
1) погрешность метода,
2) погрешности исходных данных,
3) погрешности округления при вычислениях на компьютере.
Основными являются первые две, т.к. последняя проявляется только при очень малых шагах, редко используемых в практических задачах. Оценим все три погрешности.