2.2.Параметры ренты

Современная стоимость ренты – А;

величина отдельного платежа – R;

сложная процентная ставка - i;

число начислений процентов в году – m;

число рентных платежей – p;

наращенная сумма – S;

годовая сложная процентная ставка – i ;

длительность ренты – n ;

Ренты для которых p = m называются простыми; где p ≠ m общими.

2.3. Конечная годовая рента

Это самая простая рента: в ней только один платеж R в году, длительность ее n лет, годовая процентная ставка i (сложная).

При решении задач удобно использовать следующие формулы современной величины и наращенной суммы:

;

.

Пример 1. Вкладчик в течение 6 лет вносит в банк 1500 у.е. Процентная ставка в банке i = 15% годовых сложных. Найти наращенную сумму.

Решение:

Пример 2 . Семья хочет накопить $ 12000 на машину, вкладывая в банк $1000 ежегодно. Годовая ставка в банке 15%. Как долго ей придется копить?

Дано: S=$12000 R= $1000 i = 15%(0,15) Найти : n - ?

Решение:

4. Рента конечная общая- - и платежи и начисления процентов несколько раз в году.

2.4.1. Пусть платежи начисляются p – раз в году через равные интервалы времени и суммарный годовой платеж равен R. Тогда единичный платеж ; проценты начисляются m раз в году, также через равные интервалы времени.

В этом случае наращенная сумма находится по формуле :

Современная стоимость (величина) ренты: .

2.4.2. Если Число платежей в году равно 1

( p = 1) , проценты начисляются m – раз в году. В этом случае: наращенная сумма:

;

современная стоимость: .

2.4.3. Число платежей в году несколько раз - p , проценты начисляются 1 раз в году (m = 1). Тогда наращенная сумма: ;

современная стоимость: .

2.4.4. Если число платежей в году и число начислений процентов совпадают (p=m).

Наращенная сумма:

.

2 .4.5. «Вечная» годовая рента

Под «вечной» годовой рентой понимается рента, последовательность платежей которой неограниченна и предполагается, что рента будет выплачиваться неограниченно долго. Наращенная величина такой ренты бесконечна, но современная величина равна .

Решение задач

Задача 1. Семья хочет через 6 лет купить дачу за $12000. Какую сумму (одинаковую) ей нужно каждый год из этих 6 лет добавлять на свой счет в банке, если годовая ставка процента в банке 8% (сложных)?

Дано: S=$12000 n = 6 лет i = 8%(0,08) Найти : R-?

Решение: случай 1.1 => $ Ответ: R = 1635,78$.

Задача 2. Каждые полгода на банковский счет писателя издательство перечисляет 6000 руб., на которые банк начисляет каждые полгода 7% по схеме сложных процентов. Сколько будет на счете через 4 года?

Дано: R=12000 руб (за год) n = 4 года i = 14 % (годовых)=0,14 p = m = 2 Найти : S-?

Решение: случай 2.4. 61558,82 Ответ: S= 61558,82рубля

Задача 3 . Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $500 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 4 % по схеме сложных процентов. Сколько денег накопится на счете через 5 лет?

Дано: R=$500 n = 5 лет i = 8% (годовых)=0,08 p = 1 m = 2 Найти : S-?

Решение: случай 2.2. = 2943 у.е. Ответ: S = $ 2943.

Задача 4. В ходе судебного заседания выяснилось, что гражданин N недоплачивал налогов 100 рублей ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3% ежемесячно). Какую сумму должен заплатить гражданин N?

Дано: R=100 руб. n = 2 года i = 3% (годовых) m = 24 (число платежей) Найти : S-?

Решение: случай 1.1 Искомая сумма есть наращенная величина ренты с единичным платежом 100 руб и числом платежей 24. Ответ: 3443 рубля.

Задача 5. В ходе судебного заседания выяснилось, что по вине Пенсионного фонда гражданину N в течении 10 лет недоплачивали 100 рублей пенсии ежемесячно. Суд обязал выплатить все недоплаченные деньги с процентами (12% годовых). Какова сумма выплаты?

Дано: R=100 руб.(ежемесячно) n = 10лет i = 12 (годовых)=1%(ежемесячно) m = 120 (число платежей) Найти : S-?

Решение: случай 1.1 Искомая сумма есть наращенная величина ренты с единичным платежом 100 руб и числом платежей 120. Ответ: 3443 рубля.

Задача 6. Бизнесмен арендовал виллу за $10000 в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5%?

Решение: случай 2.4.5.

Выкупная цена есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна .