1.8. Номинальная и эффективная процентная ставки
Предположим,
что по требованию некоторых клиентов
банк начисляет им проценты ежеквартально,
хотя в договоре указана годовая процентная
ставка i
= 12%.
Если начислять ежеквартально
по схеме сложных процентов, то за год
получим
(можно
посмотреть по таблице мультиплицирующих
множителей М(3,4)=1,126).
Ставка
называется эффективной,
а объявленная банком 12% - номинальной.
Так как ставка получилась больше, чем
в договоре, то банк так начислять не
будет. Выходом в данной ситуации является
начисление ежеквартально простых
процентов по ставке 3%.
В общем случае номинальной называется процентная ставка, используемая для расчетов в договорах и т.п. а действительная ставка, которая при этом получается называется эффективной.
Пусть номинальная
годовая ставка есть i
, а сложные проценты начисляются m
- раз в году по ставке
.
Тогда эффективная годовая ставка f
рассчитывается из уравнения
откуда
.
При
эффективная ставка больше номинальной,
при
эффективная ставка равна номинальной.
Пример 5: Какова эффективная ставка, если номинальная ставка равна 25%, при помесячном начислении процентов?
Решение:
.
То
есть для сторон в сделке безразлично,
применить ставку 25% (при помесячном
начислении процентов) или годовую 28 %.
При подготовке контрактов может возникнуть необходимость и в решении обратной задачи – найти номинальную ставку по заданным значениям эффективной ставки (т – количество начислений).
Вывод:
,
1+
,
,
.
1.9. Непрерывное начисление сложных процентов
В практических финансово – кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени применяется редко (ежедневная капитализация).
При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.
При начислении
процентов т
раз в году
по номинальной ставке i
наращенная
сумма определяется из уравнения
.
Если
,
то получим:
,
но
-
второй замечательный предел, тогда
Отсюда
,
,
.
( Р - текущая стоимость будущего платежа при непрерывной капитализации, i - номинальная процентная ставка, n – период начисления).
Пример 5. Первоначальная сумма Р = 7000 у.е., период начисления n= 2 года, сложная процентная ставка i =12% годовых. Начисление процентов происходит непрерывно. Найти наращенную сумму.
Решение :
у.е.
Глава 2 Потоки платежей. Ренты
Потоки платежей весьма часто встречаются на практике. Заработная плата выплачивается, как правило, в виде потока платежей 2 раза в месяц, примерно через 15 дней. Плата за квартиру – поток, как правило, ежемесячных платежей. Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсий и т.д. – это все потоки платежей.
2.1.Основные понятия
Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусматривающие равные интервалы между платежами) и нерегулярными. Элементы потоков могут быть положительными (поступления), так и отрицательными величинами (выплаты).
Аннуитет (финансовая рента) – это ряд последовательных платежей через одинаковые промежутки времени.
Например: регулярные взносы в пенсионный фонд – это пример аннуитета.
Рента описывается следующими параметрами:
размер отдельного платежа ренты - R;
период ренты n - временной интервал между двумя последовательными платежами;
срок ренты t – время от начала первого периода ренты до конца последнего.
Если все платежи равны между собой, это постоянная рента, иначе переменная .
Существуют ренты:
постнумерандо - все платежи осуществляются в конце интервалов ренты;
пренумерандо – все платежи осуществляются в начале интервалов ренты.
Для расчета наращения или дисконтирования платежей используется сложная процентная ставка i.
Наращенная (будущая) сумма ренты S – это все платежи вместе с процентами на дату последней выплаты.
Современная (приведенная) стоимость ренты – это все платежи вместе с процентами, пересчитанные на начальный момент времени ренты с помощью операции математического дисконтирования.
Существуют ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной оплате, например, при погашении кредита. Число элементов такой ренты заранее известно. В свою очередь выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события, число ее элементов заранее неизвестно. Например, страховые выплаты в имущественном и личном страховании – пример условной ренты.