1.6. Сложный процент

В случае, когда после начисления процента начальный капитал вместе с наросшим процентом снова кладется на счет в банке, в следующем периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но также и с процента, наросшего в первом периоде. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты) . Для этого применяется сложная ставка наращения (сложные проценты). Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам.

Р – первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и .т.д);

S – наращенная сумма на конец срока ссуды;

n – период наращения (в годах);

i - годовая ставка сложных процентов.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит P+Pi=P(1+i). К концу второго года она достигнет величины P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)² и т.д. В конце n-го года наращения сумма будет равна (2) . Проценты за этот же срок в целом таковы:

.

Пример1: Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. рублей через 5 лет при росте по сложной процентной ставке

15,5 % годовых?

Решение: По формуле (2) находим:

Зная первоначальную сумму Р, наращенную S и сложную годовую процентную ставку i , можно определить период начисления n в годах:

Пример 2: Р = 5000 у.е., S = 10500 у.е., i=20 % (сложных).Найти п-?.

Решение:

Тогда период начисления .

Зная первоначальную сумму Р , наращенную сумму S, период начисления n ( в годах), можно определить сложную годовую процентную ставку i:

Пример 3. Первоначальная сумма P = 2000 у.е, наращенная сумма S = 3500 у.е., период начисления n = 3года.Найти процентную ставку i.

Решение

Для облегчения расчетов особенно со сложными процентами составлены таблицы мультиплицирующих множителей.

Мультиплицирующий множитель показывает, во сколько раз возрастет за n лет сумма, положенная в банк под i процентов годовых: .

Величина есть будущая стоимость одной денежной единицы - через n лет при ставке процента i. Так М(5,8) есть 1,469. Таблицы таких множителей имели большое значение для финансовых расчетов ранее, когда не было электронных калькуляторов. Но и сейчас во многих ситуациях такие таблицы весьма удобны. (Пример фрагмента таблицы см. в приложении 1).

Для облегчения расчетов используют также таблицы дисконтирующих множителей. (Приложение №2 ).

Дисконтирующий множитель показывает долю, которую составит начальная сумма, положенная в банк под i процентов годовых (сложных) от наращенной к концу n –го года: .

Величину называют еще приведенной, или современной стоимостью одной денежной единицы через n – лет при ставке процента i.

1.7. Случай изменения сложной ставки ссудного процента

Пусть на интервалах начисления (в годах) приме­нялись сложные процентные ставки соответственно. Тогда наращенная сумма

Пример 4. К первоначальной сумме 3000 у.е. 2 года применялась сложная процентная ставка 15% го­довых, затем 3 года применялась сложная процентная ставка 12% годовых. Найти наращенную сумму.

Решение: