Тема 10. Статистика страхования

Цель занятия - освоить методику расчёта системы показателей статистики страхования.

Решение типовых задач

Задача 1. Имеются данные страховых организаций по имущественному страхованию (табл. 124).

Таблица 124 – Исходные данные

Показатели	Ед. изм.
Страховое поле (Nmax)	262000
Число заключенных договоров (N)	118000
В том числе на добровольной основе (Nd)	93500
Сумма застрахованного имущества (S1), тыс. руб.	23500
Страховые взносы (V1), тыс. руб.	705
Страховая сумма пострадавших объектов (Sn), тыс. руб.	4875
Страховые выплаты (W), тыс. руб.	445
Число страховых случаев (nc)	3540
Количество пострадавших объектов (nn)	2440

Определите показатели, характеризующие деятельность страховой организации.

Решение:

1. Степень охвата страхового поля:

2. Степень охвата объектов добровольного страхования:

3. Доля пострадавших объектов:

4. Частота страховых случаев:

5. Уровень опустошительности:

6. Средняя страховая сумма, руб.:

7. Средняя страховая сумма пострадавших объектов, руб.:

8. Средний размер выплаченного страхового возмещения, руб.:

9. Средний размер страхового взноса:

10. Коэффициент страхового возмещения:

11. Абсолютная сумма дохода страховых компаний:

12. Рентабельность страховых организаций:

13. Уровень взносов по отношению к страховой сумме:

14. Убыточность страховой суммы:

15. Коэффициент тяжести страховых событий:

Задача 2.

Ниже представлен фрагмент таблицы коммутационных чисел (по данным переписи 1994 г. и норме доходности 5 %) (табл. 125).

Таблица 125 – Исходные данные

Возраст	Число доживших до возраста X лет, Ix	Число умирающих при переходе от возраста к возрасту X лет, dx	Коммутационные числа
			на дожитие			на случай смерти
45	84379	994	9391,09	130064,51	105,36		3197,26
…	…	…	…	…	…		…
50	78811	1266	6872,61	88388,31	105,14		2663,36

Определите для лица в 45 лет единовременную ставку (со 100 руб. страховой суммы) на дожитие сроком на 5 лет, используя дисконтный коэффициент по ставке 5 %.

Решение. Единовременная нетто-ставка на дожитие:

(17)

Задача 3. Используя данные задачи 2 требуется определить единовременную нетто-ставку сроком на 5 лет на случай смерти в возрасте 45 лет.

Решение. Нетто-ставка на случай смерти, руб.:

Задача 4. Убыточность по страхованию домашнего имущества со 100 руб. страховой суммы в регионе составила, коп. (табл. 126).

Таблица 126 – Исходные данные

2006 г.	2007 г.	2008 г.	2009 г.	2010 г.
7	8	6	9	10

Определите:

1. Среднегодовой уровень убыточности страховой суммы;

2. Нетто-ставку (с вероятностью 0,95);

3. Брутто-ставку, если известно, что нагрузка по данному виду страхования составляет 15 %.

Решение.

1. Среднегодовой уровень убыточности страховой суммы:

2. Нетто-ставка, коп.:

(18)

(t=2 при вероятности p = 0,95);

3. Брутто-ставка, коп.:

(19)

где – доля нагрузки по страхованию имущества в брутто-ставке, в данном случае

Следовательно брутто-ставка по страхованию домашнего имущества в данном регионе составляет 13,13 коп.

Задача 5. Имеются данные (табл. 127).

Таблица 127 – Результаты работы страховых организаций в перовом

полугодии

Номер организации	Страховой взнос, млн. руб. V	Коэффициент выплат, Кв	Выплаты W= Кв V
1	300	0,4	120
2	600	0,6	360
3	800	0,3	240
Итого	1700	-	720

Определите:

1. Средний коэффициент выплат;

2. Абсолютную сумму дохода страховых организаций;

3. Относительную доходность.

Решение:

1. Средний коэффициент выплат составит:

(20)

Отсюда,

2. Абсолютная сумма дохода страховых организаций

3. Относительная доходность:

Задача 6. Имеются данные страховых компаний (табл. 128).

Таблица 128 – Добровольное страхование имущества

Вид имущества	Базисный период		Отчётный период		Убыточность страховых сумм
	сумма выплат страхового возмещения	страховая сумма	сумма выплат страхового возмещения	страховая сумма	q0=W0/S0	q1=W1/S1	iq= q1/q0
Домашнее имущество	30,0	3600	32,0	3700	0,0083	0,0086	1,036
Строения	12,0	2000	14,0	2100	0,0060	0,0066	1,1

Определите:

1. Убыточность страховых сумм по видам имущества и в целом;

2. Индивидуальные индексы убыточности по каждому виду имущества;

3. Общие индексы средней убыточности переменного и постоянного состава, структурных сдвигов;

4. Абсолютный прирост средней убыточности за счёт убыточности и структурных сдвигов.

Решение:

1. Показатели убыточности страховых сумм:

2. Индивидуальные индексы убыточности:

Убыточность повысилась на 3,6 %.

Убыточность повысилась на 10 %.

3. Общие индексы средней убыточности:

общий индекс переменного состава:

Средняя убыточность увеличилась на 5,3 % за счёт увеличения убыточности по отдельным видам имущества на 5,9 % и за счёт снижения удельного веса имущества с высокой убыточностью.

Поскольку:

(21)

то общий индекс постоянного состава равен:

Убыточность в среднем увеличилась на 5,9 % за счёт увеличения убыточности по отдельным видам имущества.

Индекс структурных сдвигов

4. Абсолютный прирост средней убыточности определяется по формуле

а) за счёт убыточности:

б) за счёт структурных сдвигов

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Из 100 тыс. семей застраховали свое имущество 22 тыс. семей в размере 450 млн. руб. Сумма взносов в счет застрахованного имущества составила 44 млн. руб. Число страховых случаев — 46. Пострадало имущество у 43 семей. Страховая сумма пострадавшего имущества составляет 350 млн. руб. Сумма страхового возмещения -320 млн. руб.

Определите:

1. Среднюю страховую сумму застрахованного имущества.

2. Средний страховой взнос.

3. Средний размер страхового возмещения.

4. Показатель доли пострадавших объектов.

5. Показатель выплат страхового возмещения.

6. Уровень взносов по отношению к страховой сумме.

7. Показатель убыточности страховой суммы.

8. Сформулируйте соответствующие выводы.

Задача 2. Имеются данные о страховании имущества за 2 года, тыс. руб. (табл. 129).

Таблица 129 – Исходные данные

Вид имущества	Базисный год		Отчетный год
	Сумма выплат страхового возмещения	Страховая сумма застрахованного лица	Сумма выплат страхового возмещения	Страховая сумма застрахованного лица
Домашнее имущество	0,35	440	0,40	480
Строения	0,15	280	0,20	320

Определите:

1. Показатель убыточности страховой суммы отдельно по каждому виду имущества и по всем видам имущества в среднем по годам.

2. Индексы убыточности страховой суммы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов в страховой сумме застрахованного имущества.

3. Абсолютное изменение средней убыточности страховой суммы за счет:

- изменения убыточности отдельных видов имущества в среднем;

- структурных сдвигов в страховой сумме застрахованного имущества;

- изменений в динамике страховой суммы застрахованного имущества.

Сформулируйте соответствующие выводы.

Задача 3. Имеются данные страховых организаций по имущественному страхованию в регионе (табл. 130).

Таблица 130 – Исходные данные

Показатели	Ед. изм.
Страховое поле	150000 семей
Застраховали свое имущество	80000 семей
Добровольное страхование	60000 семей
Сумма застрахованного имущества	15000 тыс. руб.
Страховые взносы	454 тыс. руб.
Страховая сумма пострадавших объектов	3125 тыс. руб.
Страховые выплаты	287 тыс. руб.
Число страховых случаев	2307
Количество пострадавших объектов	1590

Определите: 1. Степень охвата страхового поля, в том числе добровольным страхованием. 2. Долю пострадавших объектов. 3. Частоту страховых случаев. 4. Уровень опустошительности. 5. Среднюю страховую сумму, в том числе пострадавших объектов. 6. Средний размер выплаченного страхового возмещения. 7. Средний размер страхового взноса. 8. Коэффициент страхового возмещения. 9. Рентабельность страховых организаций. 10. Уровень взносов по отношению к страховой сумме. 11. Убыточность страховой суммы. Сформулируйте соответствующие выводы.

Задача 4.

На основе фрагмента таблицы 131 коммутационных чисел:

1. Определите для лица в возрасте 41 год единовременную ставку (со 100 руб. страховой суммы) на дожитие сроком на 3 года:

- используя дисконтный коэффициент по ставке 5 %;

- по данным коммутационных чисел.

Таблица 131 – Исходные данные

Возраст	Число доживших до возраста X лет, Ix	Число умирающих при переходе от возраста к возрасту X лет, dx	Коммутационные числа
			на дожитие			на случай смерти
41	87766	767	11873,13	173690,90	98,82		3601,85
42	86999	817	11208,92	161817,78	100,25		3503,03
43	86182	872	10574,91	150608,86	101,90		2402,78

Определите единовременную нетто-ставку сроком на 2 года на случай смерти в возрасте 41 год, используя данные коммутационных чисел.

Задача 5. Из 50 тыс. семей застраховали свое имущество 15 тыс. в размере 250 млн. руб. Сумма взносов в счет застрахованного имущества составила 22 млн. руб. Число страховых случаев - 20. Пострадало имущество у 15 семей. Страховая сумма пострадавшего имущества — 170 млн. руб. Сумма страхового возмещения — 160 млн. руб.

Определите:

1. Среднюю страховую сумму застрахованного имущества.

2. Средний страховой взнос.

3. Показатель доли пострадавших объектов.

4. Показатель выплат страхового возмещения.

5. Средний размер страхового возмещения.

6. Уровень взносов по отношению к страховой сумме.

7. Показатель убыточности страховой суммы.

Сформулируйте соответствующие выводы.

Тесты для самоконтроля

1. Какие бывают виды страхования?

а) имущественное;

б) личное;

в) социальное;

г) страхование ответственности.

Ответ:

2. К какому виду страхования относятся материальные ценности (строения, транспортные средства, продукция, материалы и др.)?

а) имущественному;

б) социальному;

в) личному и др.

Ответ:

3. К какому виду страхования относятся имущественные интересы населения, связанные с жизнью, здоровьем, трудоспособностью граждан: а) имущественному; б) личному; в) социальному.

Ответ:

4. К какому виду страхования относятся выполнение договорных условий по поставкам товаров, погашению кредитов и др., обязанности возмещения материального и иного ущерба?

а) имущественному;

б) личному;

в) социальному;

г) страхованию ответственности.

Ответ:

5. К какому виду страхования относится материальное обеспечение нетрудоспособных граждан?

а) имущественному;

б) личному;

в) социальному;

г) страхованию ответственности.

Ответ:

6. По какой средней исчисляется средняя убыточность?

а) средней арифметической простой;

б) средней взвешенной;

в) средней гармонической;

г) средней геометрической.

Ответ:

7. На сколько групп в имущественном страховании делятся обобщающие показатели?

а) две;

б) три;

в) четыре.

Ответ:

8. Какой из показателей характеризует тяжесть страховых событий?

а)

б)

Ответ:

9. Какие бывают виды тарифных ставок?

а) нетто-ставка;

б) брутто-ставка.

Ответ:

10. Для какого вида тарифной ставки создается страховой фонд?

а) нетто-ставки;

б) брутто-ставки.

Ответ:

11. По какой формуле исчисляется нетто-ставка?

а)

б)

Ответ:

12. Чему равен индекс тяжести страховых событий, если доля пострадавших объектов снизилась на 3 %, а убыточность страховой суммы возросла на 2 %: а) 0,99; б) 1,05; в) 1,1.

Ответ:

13. Как изменилась убыточность страховой суммы, если доля пострадавших объектов сократилась на 2 %, а тяжесть страховых событий возросла на 4 %?

а) 1,01;

б) 1,04;

в) 1,02.

Ответ:

14. Чему равен индекс убыточности, если средняя страховая сумма увеличилась на 10 %, среднее страховое возмещение возросло на 4 %, доля пострадавших объектов увеличилась на 2 %.

а) 0,852;

б) 0,964;

в) 0,981.

Ответ:

15. По какой средней исчисляется средний размер выплаченного страхового возмещения?

а)

б)

в)

Ответ:

15. По какой средней исчисляется средний размер страхового платежа?

а)

б)

в)

Ответ:

17. Как изменился индекс убыточности, если коэффициент тяжести увеличился на 10 %, а доля пострадавших объектов снизилась на 12 %: а) увеличился; б) не изменился; в) уменьшился.

Ответ:

18. Чему равен коэффициент убыточности страховой суммы, если доля пострадавших объектов сократилась на 2 %, а индекс страховых событий возрос на 4 %: а) 1,01; б) 1,04; в) 1,02.

Ответ:

19. Чему равен индекс доли пострадавших объектов, если индекс убыточности увеличился на 5 %, индекс средней страховой суммы увеличился на 4 %, индекс среднего страхового возмещения снизился на 2 %: а) 1,06; 6)1,1; в) 1,114.

Ответ:

20. Как изменился уровень убыточности за счет изменения тяжести страховых событий, если коэффициенты тяжести в базисном периоде составили 1,1, в отчетном периоде − 1,2. Доля пострадавших объектов соответственно 0,6 и 0,8: а) 0,08; б) 0,086; в) 0,088.

Ответ:

21. Как изменился уровень убыточности за счет доли пострадавших объектов, если коэффициенты тяжести − 1,15; 1,25. Доля пострадавших объектов 0,5; 0,7: а) 0,2; б) 0,21; в) 0,23.

Ответ:

22. Чему равен коэффициент финансовой устойчивости, если число застрахованных объектов N равно 1200, убыточность q равна 0,008, р = 0,954, t = 2: а) 0,643; б) 0,65; в) 0,66.

Ответ:

23. Чему равен нетто-коэффициент, если средняя убыточность q равна 0,3, среднее квадратическое отклонение равно 0,056, р = 0,954, t = 2: а) 0,39; б) 0,412; в) 0,422.

Ответ:

24. Чему равен брутто-коэффициент, если средняя убыточность q равна 0,4, среднее квадратическое отклонение равно 0,006, р = 0,954, t = 2; нагрузка по страхованию имущества – 10 % к брутто-ставке: а) 0,578; б) 0,58; в) 0,59.

Ответ:

25. Чему равна средняя страховая сумма, если число застрахованных объектов 100, сумма застрахованного имущества 200 тыс. руб.: а) 1,9; б) 2,0; в) 2,2.

Ответ:

26. Чему равна сумма страхового взноса, если число застрахованных объектов 120, а сумма страховых взносов 3600 тыс. руб.: а) 2,6; б) 2,8; в) 3,0.

Ответ:

27. Чему равна средняя сумма страховых выплат, если число пострадавших объектов 80, страховые выплаты 200 тыс. руб.: а) 2,0; б) 2,5; в) 3,0.

Ответ:

28. Чему равна убыточность страховой суммы, если сумма застрахованного имущества 10 000 тыс. руб., страховые выплаты 80 тыс. руб.: а) 0,008; б) 0,0085; в) 0,009.

Ответ:

29. Как изменился индекс структурных сдвигов, если индекс сред ней убыточности (переменного состава) увеличился на 20%, постоянного состава увеличился на 25%: а) повысился; б) не изменился; в) снизился.

Ответ:

30. Чему равен индекс убыточности постоянного состава, если индекс переменного состава увеличился на 15 %, индекс структуры – на 18 %: а) 1,1; б) 0,975; в) 0,99.

Ответ:

31. Имеются данные страховых организаций по добровольному имущественному страхованию за отчетный период, тыс. руб. (табл. 132).

Таблица 132 – Исходные данные

Показатели	Ед. изм.
Страховое поле	200000
Число заключенных договоров	88000
Страховая сумма застрахованного имущества	182000
Страховые взносы	4000
Страховые выплаты (сумма ущерба)	1200
Число страховых случаев	1600

Определите: 1) степень охвата страхового поля; 2) частоту страховых случаев; 3) коэффициент выплат; 4) среднюю страховую сумму страхового взноса; 5) среднюю сумму страхового взноса; 6) среднюю сумму страховых выплат; 7) убыточность страховой суммы; 8) коэффициент тяжести страховых событий; 9) с вероятностью 0,954 коэффициент финансовой устойчивости.

Варианты ответа:

1. а) 0,44; б) 0,4; в) 0,5.

2. а) 0,02; б) 0,018; в) 0,021.

3. а) 0,2; б) 0,25; в) 0,3.

4. а) 2068; б) 2050; в) 2060.

5. а) 45,1; б) 45,45; в) 46,5.

6. а) 720; б) 740; в) 750.

7. а) 0,005; б) 0,0066; в) 0,0050.

8. а) 0,3; б) 0,32; в) 0,36.

9. а) 0,825; б) 0,0085; в) 0,087.

Ответ:

32. Результаты работы страховой организации во II полугодии характеризуются следующими данными (табл. 133).

Таблица 133 – Исходные данные

Номер организации	Страховой взнос, млн. руб.	Коэффициент выплат	Выплаты, млн. руб.
1	200	0,3	60
2	400	0,5	200
3	600	0,4	240

Определите: 1) средний коэффициент выплат; 2) абсолютную сумму дохода страховых операций; 3) относительную доходность.

Варианты ответа:

1. а) 0,41; б) 0,417; в) 0,421.

2. а) 700; б) 720; в) 760.

3. а) 0,4; б) 0,43; в) 0,416.

Ответ:

33. Имеются данные о деятельности страховой организации (табл. 134).

Таблица 134 – Исходные данные

Страховые выплаты, тыс. руб.	Число страховых случаев, % от общего числа
2-4	10
4-6	30
6-8	40
8-10	20

Известно, что средняя страховая сумма составила 12,8 тыс. руб.

Определите: 1) средний размер страховых выплат; 2) коэффициент тяжести страховых событий.

Варианты ответа:

1. а) 6,4; б) 6,7; в) 7,0;

2. а) 0,3; б) 0,4; в) 0,5.

Ответ:

34. Имеются данные страховых компаний о добровольном страховании имущества, тыс. руб. (табл. 135).

Таблица 135 – Исходные данные

Вид имущества	Базисный год		Отчетный год
	Страховые выплаты	Страховая сумма	Страховые выплаты	Страховая сумма
Домашнее имущество	78	26000	100	40000
Строения	48	12000	74	20000

Определите:

1) убыточность страховых сумм по видам имущества и в целом;

2) индивидуальные индексы убыточности;

3) общие индексы (переменного, постоянного составов и структурных сдвигов);

4) абсолютный прирост (снижение) средней убыточности за счет изменения убыточности и структурных сдвигов.

Варианты ответа:

1. а) 0,003; б) 0,004; в) 0,005.

2. а) 0,0036; б) 0,004; в) 0,0041.

3. а) 0,002; б) 0,0022; в) 0,0025.

4. а) 0,0029; б) 0,0032; в) 0,0037.

5. а) 0,003; б) 0,0033; в) 0,0035.

6. а) 0,0025; б) 0,0027; в) 0,0029.

7. а) 0,85; б) 0,0879; в) 0,88.

8. а) 0,879; б) 0,88, в) 0,882.

9. а) 0,99; б) 1,0; в) 1,01.

10. а) -0,0004; б) 0,0001; в) -0,0002.

11. а) 0,0001; б) - 0,0004; в) 0,0002.

12. а) 0,0002; б) 0,0001; в) 0.

Ответ:

35. Динамика убыточности по страхованию домашнего имущества в области характеризуется следующими показателями (табл. 136).

Таблица 136 – Исходные данные

Год	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Убыточность со 100 руб. страховой суммы	7	8	9	10	12	14

Определите: 1) среднегодовой уровень убыточности страховой суммы; 2) нетто-ставку с доверительной вероятностью 0,954; 3) брутто-ставку при условии, что нагрузка к нетто-ставке составляет 15 %.

Варианты ответа:

1. а) 10; б) 12; в) 15.

2. а) 14,5; б) 14,7; в) 14,9;

3. а) 17,1; б) 17,0; в) 17,29.

Ответ:

36. Имеются данные по страхованию домашнего имущества, тыс. руб. (табл. 137).

Таблица 137 – Исходные данные

Показатели	2006	2007	2008	2009	2010
Страховые выплаты	86	94	112	120	140
Страховая сумма	10000	12000	14000	14500	16500

Определите: 1) уровень убыточности страховых сумм; 2) среднюю убыточность страховой суммы; 3) с вероятностью 0,954 нетто-ставку; 4) брутто-ставку при условии, что нагрузка по данному виду страхования составляет 20 %.

Варианты ответа:

1. а) 0,0086; б) 0,0085; в) 0,0088.

2. а) 0,0075; б) 0,0078; в) 0,0079.

3. а) 0,0075; б) 0,0077; в) 0,008.

4. а) 0,008; б) 0,0083; в) 0,0085.

5. а) 0,0085; б) 0,0087; в) 0,0089.

6. а) 0,008; б) 0,0082; в) 0,0085.

7. а) 0,009; б) 0,0096; в) 0,0098.

8. а) 0,009; б) 0,010; в) 0,012.

Ответ: