Шпоры по вычмату / 003

Интерполяция - это вычисление значений y (x) во всей области определения аргумента по заданному дискретному множеству точек, т.е. переход от дискретной функции к непрерывной. Наоборот дискретизация - переход от непрерывной к дискретной функции. Отметим, что в радиотехнике эти преобразования для сигналов выполняют специальные устройства, которые называются ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь) и АЦП (аналого-цифровой преобразователь). ЦАП осуществляет интерполяцию, а АЦП - дискретизацию.Часто интерполяцию и аппроксимацию рассматривают как синонимы. Однако мы будем их различать. Интерполяция - это переход к непрерывной функции, проходящей точно через заданные точки.

Для заданных N точек N>>1 интерполяция может быть локальной или глобальной. Глобальная использует все заданные точки, а локальная выполняется по нескольким соседним точкам. На рис.1.5 показаны три самых распространенных вида локальной интерполяции (линейная, параболическая, кубическая) и два глобальной: полином степени (N-1) и кубический сплайн.

1.5.3. Интерполяция методом Ньютона.

При равноотстоящих узлах вместо полиномов Лагранжа удобнее использовать полиномы, получающиеся при построении конечных разностей.

Пусть , ,

Конечные разности последовательности определяются соотношениями

Разности I-го порядка, вычисляются через значение функции в соседних точках;

Разности II-го порядка, вычисляются через разности первого порядка в соседних точках;

Разность -ого порядка.

Конечные разности удобно записывать в виде таблицы:

Согласно методу Ньютона, интерполяционный полином й степени ищется в следующем виде:

(1.6)

Полином должен проходить через все выбранные точек:

; , откуда найдем коэффициенты b_n.

При имеем ;

Для нахождения b₁ составим первую конечную разность, учитывая, что,

Для нахождения составим вторую конечную разность

Продолжая этот процесс, получим:

В результате запишем интерполяционный полином Ньютона -й степени в виде:

(1.7)

; ;

Это первая интерполяционная формула Ньютона. Полином удовлетворяет поставленным условиям.

Докажем, что

и т.д.

При он переходит в отрезок ряда Тейлора, т.к.

При получается формула линейного интерполирование по двум точкам.

При квадратное интерполирование:

Достоинства метода Ньютона:

- вычисления проще;

- можно добавить точки и уточнить интерполяционный полином, не меняя предыдущих вычислений. При увеличении числа точек более чем первые членов полинома Ньютона не изменяются, только добавляем более новые.