
Шпоры по вычмату / 009
.doc
-
4.4. Численное интегрирование.
Применение и методы численного интегрирования аналогичны численному дифференцированию, т.е. численное интегрирование выполняется для дискретных и непрерывных функций и при этом для интерполяции используются полиномы и сплайны.
Постановка задачи.
Дана дискретная или непрерывная функция
.
Вычислить на отрезке
значение интеграла
|
(4.11) |
причем погрешность
не должна превышать заданное значение
EPS. Интеграл геометрически определяет
площадь под кривой
.
Любую формулу численного
интегрирования можно записать в виде
суммы всех ординат
c весовыми коэффициентами
,
1,
2, ...,
,
|
(4.12) |
где
- это приближенное значение
.
Значения весовых коэффициентов
определяются шагом дискретизации
и методом интерполяции. Самые известные
методы численного интегрирования
- метод трапеций и метод Симпсона -
используют линейную и параболическую
интерполяцию соответственно.
При линейной интерполяции
в методе трапеций график функции
представлен в виде ломаной, соединяющей
точки
.
В этом случае площадь всей фигуры
складывается из площадей элементарных
трапеций (рис.4.2).
|
Рис.4.2. |
,
,
и в результате при постоянном шаге
дискретизации
получается формула
трапеций:
Эту формулу можно
получить также, рассматривая сумму
площадей прямоугольников высоты
и ширины
для всех внутренних точек и ширины
для двух крайних точек.
Парабола в методе
Симпсона проводится через каждые три
точки, т.е. значение
должно быть нечетным. Разобьем отрезок
интегрирования
на четное число отрезков
,
…
.
На каждом отрезке
подынтегральную функцию заменим
параболой
,
,
коэффициенты которой определяются
любым из рассмотренных методов
интерполяции по трем точкам
,
,
.
Тогда элементарная площадь под параболой
вычисляется, применяя, например,
параболическую интерполяцию п.4.1,
получим:
.В
результате суммирования
получается формула Симпсона:
|
(4.14) |
В (4.14) все четные ординаты имеют множитель 4, а все нечетные, кроме первой и последней, множитель 2.
Формулы численного
интегрирования включают все погрешности,
рассмотренные для численного
дифференцирования. Исследования
погрешности метода показывают, что при
малых шагах дискретизации погрешность
формулы трапеций пропорциональна
,
а погрешность формулы Симпсона
пропорциональна
,
т. е. при заданной погрешности EPS формула
Симпсона допускает более крупные шаги.
Отметим, что формула Симпсона точна,
если исходная функция
является кубическим полиномом.
Для погрешностей
исходных данных и округления
можно также получить оценки, аналогичные
(4.9). Очевидно, что в случае большого
количества точек абсолютные погрешности
для всех слагаемых могут суммироваться,
и тогда для формул трапеций и Симпсона
можно в качестве оценки взять погрешность
максимальное значение
,
где
- количество точек.
Видим, что полученное
значение не зависит от шага
.
Зависимость суммарной погрешности
от шага дискретизация
показана на рис. 4.3.
|
Рис
4.3. Зависимость суммарной погрешности
|
Отметим, что обычно относительные погрешности результатов численного интегрирования меньше, чем численного дифференцирования.
Контроль точности вычисления интеграла любым численным методом аналогичен численному дифференцированию.
В системе MathCAD для непрерывных функций
применяется сложный метод вычисления
интеграла — метод Ромберга, основанный
на методе трапеций. Метод трапеций с
шагами
и
используется в нем для контроля точности
полученного значения интеграла,
автоматического выбора шага
и для уменьшения погрешности полученного
значения
.
Отметим, что при этом величина начального
шага для вычисления площади трапеции
по (4.13) равна
.
Для обращения к стандартному оператору
численного интегрирования следует
ввести символ &.