Шпоры по вычмату / 002

Интерполяция - это вычисление значений y (x) во всей области определения аргумента по заданному дискретному множеству точек, т.е. переход от дискретной функции к непрерывной. Наоборот дискретизация - переход от непрерывной к дискретной функции. Отметим, что в радиотехнике эти преобразования для сигналов выполняют специальные устройства, которые называются ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь) и АЦП (аналого-цифровой преобразователь). ЦАП осуществляет интерполяцию, а АЦП - дискретизацию.Часто интерполяцию и аппроксимацию рассматривают как синонимы. Однако мы будем их различать. Интерполяция - это переход к непрерывной функции, проходящей точно через заданные точки.

Для заданных N точек N>>1 интерполяция может быть локальной или глобальной. Глобальная использует все заданные точки, а локальная выполняется по нескольким соседним точкам. На рис.1.5 показаны три самых распространенных вида локальной интерполяции (линейная, параболическая, кубическая) и два глобальной: полином степени (N-1) и кубический сплайн. Интерполяция методом Лагранжа.

Используются интерполяционные полиномы Лагранжа

,

(1.4)

для которых

Они имеют степень N-1 по x, т.к. в числителе N-1 сомножитель. Следовательно:

есть полином степени N-1, проходящий через N точек . Интерполирующая формула Лагранжа требует большого объема вычислений, для получения более удобного для вычисления вида используют некоторые приемы (например, преобразование к барицентрической формуле или использование матриц).

Вычисления также упрощаются при равноотстоящих узлах , . Однако в любом случае, изменяя число точек , надо заново строить полиномы .

Интерполяция методом Лагранжа.

	1	2	3	4
	0	1	2	3
	0	3	5	4

Интерполируем методом Лагранжа.

, ,

Полиномы Лагранжа имеют вид

.

,

,

,