Шпоры по вычмату / 001

Интерполяция - это вычисление значений y (x) во всей области определения аргумента по заданному дискретному множеству точек, т.е. переход от дискретной функции к непрерывной. Наоборот дискретизация - переход от непрерывной к дискретной функции. Отметим, что в радиотехнике эти преобразования для сигналов выполняют специальные устройства, которые называются ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь) и АЦП (аналого-цифровой преобразователь). ЦАП осуществляет интерполяцию, а АЦП - дискретизацию.Часто интерполяцию и аппроксимацию рассматривают как синонимы. Однако мы будем их различать. Интерполяция - это переход к непрерывной функции, проходящей точно через заданные точки.

Для заданных N точек N>>1 интерполяция может быть локальной или глобальной. Глобальная использует все заданные точки, а локальная выполняется по нескольким соседним точкам.

интерполяция
локальная			глобальная
линейная	параболическая	кубическая парабола	полином степени (N-1)	кубический сплайн
Рис. 1.5.

На рис.1.5 показаны три самых распространенных вида локальной интерполяции (линейная, параболическая, кубическая) и два глобальной: полином степени (N-1) и кубический сплайн.

Интерполяция с помощью решения СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений).

Полином степени N-1

(1.2)

имеет коэффициентов . Если потребовать чтобы он проходил через точек , то получим систему линейных уравнений для :

,

(1.3)

Определитель системы называется определителем Вандермонда:

Можно показать, что , если при .

Решая систему линейных алгебраических уравнений можно найти . По правилу Крамера , где получается заменой -го столбца в на столбец .

Например для : .

Задача. Задана дискретная функция .

	1	2	3	4
	0	1	2	3
	0	3	5	4

Полином , степень полинома = 3 , ;

Составляем СЛАУ и решаем ее любым известным методом. Например, методом Крамера или методом Гаусса.

Полагая , получим СЛАУ

Для решения методом Крамера вычисляется определитель Вандермонда:

Для коэффициентов полинома имеем

, , … .

, , .

, , .

Получим следующий интерполирующий полином: