Теоремы и критерии об обходе графа 

• Если граф связный, а V_i и V_j есть его единственные вершины нечетной степени, то этот граф обладает эйлеровым маршрутом с концами V_i и V_j

• Если граф  обладает эйлеровым маршрутом( путем) с концами V_i и V_j (V_iV_j), то граф  связный, а вершины V_i и V_j являются его единственными вершинами нечетной степени. Если граф связный и содержит ровно k вершин нечетной степени, то минимальное число покрывающих граф  ребер – непересекаюшихся цепей не обязательно простых равно k/2.

• Если граф  связный и все его вершины четной степени, то он обладает эйлеровым циклом.

• Если граф  обладает эйлеровым циклом(контуром), то он – связный и все его верщины четной степени.

• Если граф связный, то можно построить цикличный маршрут, содержащий все ребра графа в точности два раза, по одному в каждом направлении.

Примечания:

Приведенные теоремы о существовании в графе эйлеровых маршрутов и циклов являются необходимыми и достаточными признаками, т.е. А  В = (АВ)  (ВА). Однако необходимые условия для существования в графе  гамильтоновых маршрутов и циклов до настоящего времени еще не найдены, хотя предложены многочисленные критерии достаточности существования гамильтоновых циклов в графе .

Утверждение.

В любом турнире (орграфе, основанием которого является полный граф) существует гамильтонов путь.

Теоремы о соответствиях между неографами о орграфами.

• Каждому орграфу ₁= <V, U > можно однозначно сопоставить неограф ₂ = <V,U > (обратное, очевидно, не всегда верно).

• Каждому неографу  = <V,U> можно сопоставить 3^|U|2^|V| различных орграфов.

Пример. Пусть  = < M=2, U =1 > ему соответствует 12 орграфов.

Теоремы о деревьях.

1. Для графа T = < V, U > следующие утверждения эквивалентны.

• Т – дерево, если он связный неограф без циклов.

• Т – дерево, если любые две вершины в графе Т соединены единственной простой цепью.

• Т – дерево, если граф связен и имеет |V| - 1 ребер.

• Т – дерево, если граф не содержит циклов и имеет |V| -1 ребер.

• Т – дерево, если граф не содержит циклов, но добавление ребра между любыми двумя несмежными вершинами приводит к появлению одного цикла.

• Т – дерево, если граф связен, но утрачивает это свойство после удаления любого ребра.

Замечание.

Эта теорема устанавливает эквивалентность различных свойств дерева, каждое из которых может быть следствием его определения.

Матричные теоремы о покрывающих деревьях.

Теорема Трента:

Число остовых деревьев связного мультиграфа(2) есть любой главный минор квадратной матрицы VV, по главной диагонали которой расположены степени вершин, а элементы позиций i,j и ij равны взятому со знаком минус числу ребер, связывающих вершины V_i и V_j.

Пример:

Рассмотрим мультиграф.

V₁

V₂

V₃

V₅

V₄

	V1	V2	V3	V4	V5
V1	3	-1	-2	0	0
V2	-1	4	-1	-1	-1
V3	-2	-1	4	-1	0
V4	0	-1	-1	5	-3
V5	0	-1	0	-3	4

Матрица Трента

Это означает, что на исходном графе 76 покрывающих деревьев.

Теорема Кирхгофа (частный случай теоремы Трента, здесь рассматривается простой граф):

Число остовых деревьев в связном графе  порядка V 2 равно алгебраическому дополнению любого элемента матрицы Кирхгофа В().

-1, если V_i и V_J смежны;

А_к= 0, если V_i и V_J не смежны и V_i = V_J ;

degV_i, если V_i > V_J .

Замечание:

В матрице Трента и Кирхгофа сумма элементов в любой строке и в любом столбце равна нулю.