Маркин п.М.

Основы математического аппарата инженера-системотехника вычислительной техники.

Учебное пособие для студентов специальности 2201

(Вычислительные машины, комплексы, системы и сети)

Москва 2006

Глава 1.

Дискретная математика.

Введение

Дискретная (финитная, конечная) математика – направление математики, изучающее свойства и отношения дискретных структур. В этом плане классическая (непрерывная) математика изучает свойства и отношения объектов непрерывного характера:

Дискретная математика

Математика

Классическая математика

Специфика задач и методов дискретной математики обусловлена необходимостью отказа от основополагающих понятий классической математики – непрерывности и предела (т.е. дискретность есть антипод этих понятий), поскольку многие средства классической математики не приемлемы для исследования свойств дискретных объектов (систем, структур).

Предмет, цели и содержание читаемого курса:

-Предметом читаемого курса являются языки, модели и методы решения задач теории множеств, алгебры логики и теории графов, интерпретированные на дискретные объекты предметной области инженера специальности 220100 – Вычислительные машины, комплексы, сети системы.

-Целью читаемого курса является овладение студентом математического аппарата синтеза и анализа дискретных структур (систем с сосредоточенными параметрами; процессов, протекающих в дискретные моменты времени).

-Содержанием читаемого курса (1 семестр) являются теория множеств, теория алгебры логики и теория графов.

Рекомендуемая литература из библиотечного фонда МИЭМ.

а) Общая.

1.О. П. Кузнецов, Г. М. Адемсон-Вельский “Дискретная математика для инженера”, М, “Энергоатомиздат”, 1988г.

2.Д. Кук, Г. Бейз “Компьютерная математика”, М, Наука, 1990г.

б) Дополнительная.

1. С. В. Яблонский “Введение в дискретную математику”, М, Наука, 1986г.

2. Д. Л. Ершов, Е. А. Палютин “Математическая ложка”, М, Наука, 1987г.

3. А. А. Зыков “Основы теории графов”, М, Наука, 1987г.

4. В. Н. Сачков “Введение в комбинаторные методы дискретной математики”, М, Наука, 1982г.

5. Электронная версия лекций Маркина П. М. по курсу “Дискретная математика” – На кафедральном сервере или в Интернете.

6. Ф.А. Новиков «Дискретная математика для программиста.

Теория множеств.

Теория множеств – математическая теория, изучающая наиболее общие свойства и отношения конечных и бесконечных совокупностей объектов, элиминирующая свойства самих объектов.

Структура чтения теории множеств.

Теория множеств

соответствия и морфизмы

Формальные системы F,S=<L,D>

алгебраические системы A=<M,O,R>

Морфизмы

µ=< A,A ,M >

Аксиоматическая

теория множеств

Соответствия q=<M₁,M₂,S>

Множества M

Реляционные системы <M,R>

Алгебры <M,O>

Фундаментальные

алгебры

Функциональные системы <F,O>

Конечные множества

Полукольца <M,f²,f2²>

Подмножества

данного множества

Группоиды <M,f²>

Унары <M,f¹>

Бесконечные множества

Булевы алгебры <M,f₁²,f₂²,f¹>

Потенциальная бесконечность

четкие

нечеткие

Актуальная бесконечность

Основными подходами к построению теорий множеств являются формальные системы FS (FS=<L,D>, где L-язык,D-дедуктивные средства) и алгебраические системы А (А=<M,O,R>, где М ≠ Ø, О = {f_jⁱ: Mⁱ→M}_{i,j Є N}, RMⁿ (M – непустое множество, О – множество алгебраических операций, R – множество отношений).

Теория множеств, как целостная система абстрактных объектов, имеет своими структурными компонентами:

а) концептуальный базис (первичные понятия и основные отношения между ними, выражаемыми в форме аксиом, гипотез, законов);

б) дедуктивные средства (в форме тех или иных правил);

в) содержательную надстройку (являющейся совокупностью теорем и утверждений, полученных применением логических средств к концептуальному базису).

Язык теории множеств можно рассматривать как формализованную систему, несущим множеством которого является совокупность первичных понятий, а отношениями – определения производных понятий.

Примечание:

1) В читаемом курсе рассматриваются только теории множеств, первичными понятиями которых являются элемент, множество и отношение инцидентности (принадлежности);

2) В настоящее время существующие теории множеств различаются парадигматикой (системой построения) концептуального базиса и логических средств.

Так в качестве примера можно привести две противоположные точки зрения на первичные понятия «множество», «элемент». С агрегатной точки зрения множество есть набор вещей (предметов), а с атрибутивной точки зрения множеством считается свойство (атрибут) вещи.

Пояснение понятия “множество” с агрегатной точки зрения.

Первичные понятия «множество» и «элемент» в рассматриваемой ниже теории множеств являются исходными (неопределяемыми), поясняемые с различных точек зрения примерами.

Согласно Г. Кантору (одному из основоположников “наивной” те6ории множеств), множеством (конечным или бесконечным), является неупорядоченная совокупность строго различимых (дискретных) объектов (агрегатов), для каждого из которых можно установить принадлежность или непринадлежность его данному множеству.

Факт принадлежности объекта х (далее называемым “элементом”) множеству М символически записывается хМ (здесь  - отношение инцидентности) и непринадлежности соответственно хМ.

Примеры:

а) Учебная группа С-25 есть множество. Элементами этого множества являются студенты, принадлежность каждого из которых к группе С-25 можно установить по журналу.

б) Решение квадратного уравнения x²+2х-8=0 есть множество, элементами которого являются корни заданного уравнения (алгоритмом установления принадлежности элемента множеству решений является его подстановка в квадратное уравнение).

М=2,-4-конечное множество

Очевидно 2,-4 М, но 3М.

Действительно:

2²+2(-2)-8=0

(-4)²+2(-4)-8=0

3²+23-8=70

в) Все натуральные числа образуют бесконечное множество N, символическая запись которого есть:

N=1,2,3,4,5…….

г) Все точки вещественной оси есть множество равномощное множеству всех действительных чисел Д.

д) Множество, не содержащее элементов, есть пустое множество .

Замечание:

1)Сами элементы множества могут быть множествами, но М={a,b,c} множества а,b,с нельзя писать большими буквами.

2)Термин «множество» есть экспликация (уточнение) интуитивно явных понятий: «класс», «семейство», «ансамбль».

3)Термин «элемент» множества есть экспликация интуитивно ясных понятий «участник», «член», «представитель».

4)Не следует связывать понятие множество с обыденным представлением о множестве, как о большом количестве. Так множество {х} есть синглетон, а пустое множество не содержит элементов.

5)Элементы множества не обязательно должны существовать одновременно. Так, следующие три объекта пространства-времени:

- Студент, вчера сдавший зачет,

- Он же, сегодня защитивший курсовой проект,

- Он же, намеревающийся завтра сдать экзамен.

Образуют множество из трех элементов (символическая запись М = {x₁,x₂,x₃}, т.е. |M|=3).

Предостережение:

Можно говорить о множестве снежинок (дождинок) при снегопаде (дожде), но нельзя говорить о множестве снежинок (дождинок) в сугробе (луже), (так как в последнем случае нет дискретности).

Пояснение исходного понятия «множество» с атрибутивной точки зрения.

Агрегатная точка зрения, в отличие от атрибутивной, является логически несостоятельной в том плане, что на бесконечных множествах она приводит к парадоксам типа Рассела и Кантора (см. ниже).

В рамках атрибутивной точки зрения множества отождествляются со свойством, определяющим соответствующую совокупность элементов.

В этом случае записывают хМ (сокращенно М (х)), имея в виду, что элемент х обладает свойством М (здесь х - элемент множества М, понимаемого как свойство;

 - оператор отношения предикации; эквивалентная запись М (х) является одноместным предикатом - логическим сказуемым,

т. е. то, что говориться об элементе х).

Любому свойству множества М соответствует потенциально бесконечная совокупность элементов, которым присуще это свойство. В этом плане понятие “конечное множество” есть структурно сложные эмпирические или абстрактные объекты (абстрактные агрегаты) множества М.

Пример:

1)Учебная группа С-25 в рамках атрибутивной точки зрения является структурно сложным эмпирическим объектом, но не множеством.

2) Абстрактный агрегат 2,4,6 является абстрактным структурно сложным элементом составных частей 2,4,6, находящихся в отношении четности к числу 2.

3)N=1,2,3,4… - множество всех натуральных чисел, т. е. хN (читается “х является натуральным числом”)

Замечание:

а) Запись хМ логично интерпретировать, как логическую структуру простого субъектно-

предикатного высказывания х, где х - является индивидной переменной (субъектом), а М-предикатом (т.е. что говорится о субъекте).

б) Подход к построению теории множеств может быть содержательным (в читаемом курсе – это алгебраическая система А) и формальным (будет рассмотрена в математической логике).

в) В рассматриваемом курсе классической теории множеств используется абстракция актуальной бесконечности (мыслимой, в отличие от потенциальной бесконечности, как завершённый объект), и к которой применимы все теоретико-множественные операции.