Комбинированный метод хорд и касательных

Союзная матрица по отношению к данной матрице А есть транспонированная матрица алгебраическихвсех элементов матрицы А:

Пример: Используя матричную запись, решить систему линейных уравнений:

Решение: Имеем , т.е.:

Находим :;

;

. Поскольку , то. Отсюда

Замечание:

Если порядок матрицы А большой, то рассмотренный метод обращенной матрицы требует сложной вычислительной работы. Пользуясь разложением квадратной матрицы А на произведение двух треугольных, можно легко вычислить обратную матрицу , а именно, если, то. В этом случае обратные матрицыдля треугольных матрицнаходятся сравнительно просто (обратная матрица неособенной треугольной матрицы есть такая же треугольная матрица того же типа и структуры). Отметим, что если квадратная матрица А имеет отличные от нуля диагональные миноры (это миноры определителя матрицы, на главных диагоналях которых стоят диагональные элементы матрицы), т.е.:

что ее можно разложить на произведение двух треугольных матриц (верхней и нижней). Это разложение единственно, если диагональным элементам одной из треугольных матриц заранее дать отличные от нуля значения (например, положить их равными единице).

Искомые элементы треугольных матриц находят следующим образом:

• Перемножают матрицы ;

• Приравнивают соответствующие элементы матрицы-произведения элементам заданной матрицы А, а именно- решают сначала одночленные, затем двучленные и т.д. уравнения.

Пример:

Для матрицы найти обратную, разложив данную матрицу на произведение двух треугольных.

Решение:

Вычисляем:

Т.е. А можно представить как , т.е.:

или

Составляем уравнения:

Решая эти уравнения, находим:

. Следовательно:

. Для нахождения обратной матрицы найдем. Пусть=, тогда, или

Составляем уравнения: , отсюда находим:. Следовательно:. Найдем, учитывая, что:

, отсюда находим элементы обратной матрицы :

. Обратная матрица :

Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений.

Если определитель квадратной системы линейных уравненийне равен нулю, то эта система имеет единственное решение и это решение находиться по формулам Крамера:где,- определитель, получаемый иззаменой к-ого столбца на столбец свободных членов.

Пример:

Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений:

Решение. Находим определители , раскладывая их на миноры по элементам последней строки:(здесь первый и третий миноры равны нулю, т.к. имеют пропорциональные столбцы).

Теперь по формулам Крамера получаем решение системы:

Замечание. Решение линейных неоднородных уравнений большой размерности по формулам Крамера очень громоздко. На практике такие системы решают другими методами. Наиболее распространенным методом среди них является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных (в результате чего, данная система уравнений преобразуется к эквивалентной системе, решение которой не составляет труда).

Решение системы уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных)

Метод Гаусса – прямой (точный) метод решения совместных систем линейных уравнений, дающий возможность получить решение посредством конечного числа арифметических действий.

Процесс решения системы уравнений методом Гаусса состоит из прямого и обратного хода.

Прямой ход – преобразование заданной системы уравнений к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей.

Обратный ход – получение решения системы.

Пример.

Поскольку эта система совместна, т.е. , а число переменных ровно числу уравнений, (т.е. система является определенной системой 3-его порядка), то ее решение единственно. Прямой ход включает следующие преобразования расширенной матрицы:

Преобразованная система уравнений имеет вид:

Обратный ход:

а) схема единственного деления.

Операции прямого и обратного хода удобно вести по вычислительной схеме единственного деления. Как для системы 3-х уравнений с 3-мя неизвестными имеем вычислительную схему:

В этой схеме: - ведущий элемент;;- ведущий элемент;;;- контрольные суммы, над которыми выполняются те же действия, что и над остальными элементами строки.

Пример.

По схеме единственного деления решение этой системы уравнений проводиться в следующей последовательности:

1) в первые три строки схемы единственного деления вписываются коэффициенты и свободные члены каждого уравнения данной системы и для этих строк выписываются контрольные и строчные суммы (на этом этапе эти суммы совпадают между собой; на следующем этапе они будут служить целям контроля);

2) делим все числа первой строки на ведущий элемент , или, что удобнее, умножаем их на число, обратное ведущему элементу:(далее всюду в промежуточных результатах будем сохранять два запасных десятичных знака).

Округляя полученные произведения до четырех десятичных знаков, выписываем их в четвертую строку таблицы.

Так, .

Строчная сумма четвертой строки равна 1-0,1667+0,2500-0,5000=0,5833, а контрольная сумма (1,20-0,20+0,30-0,60)*0,8333=0,70*0,8333=0,5833. Совпадение строчной и контрольной сумм означает отсутствие вычислительных ошибок.

3) вычислив коэффициенты вычислительной системы

, где . Заполним строки 5 и 6 схемы единственного деления. Очевидно:

4) повторяем процесс, т.е. строки 7 и 9 заполняем по тому же правилу, что и строки 4 и 8 – по правилу заполнения строк 5 и 6. Текущий контроль вычислений осуществляется вычислением контрольных сумм и сравнением их со строчными для каждой строки

5) числа, заполняющие 4, 7 и 9 строки схемы, представляют собой коэффициенты и свободные члены простейшей системы трех уравнений: эквивалентной данной. Решение этой системы осуществляется по формулам обратного хода:

Для контроля обратного хода вычисляют числа , которые должны быть связаны с найденным решением данные системы соотношениями:.

Действительно, решение данной системысвязано с решением системыуказанной зависимости

и учитываем, что )

Хорошее совпадение контрольных и строчных сумм в рассмотренном примере говорит о том, что запасных знаков было удержано достаточно. Округляя найденные значения окончательно получаем:.

Б) Схема с выбором главного элемента. Эту схему вычислений, лучшей по точности из всех вычислительных схем по методу Гаусса, проиллюстрируем на этом же примере. Первые три строки схемы, за исключением третьего столбца, заполняются аналогично схеме единственного деления:

Выбираем в таблице наибольший по модулю коэффициент (который будем называть главным элементом). Имеем=1,60 (в таблице выделен цветом). В третьем столбце выписываются взятые с обратным знаком частные от деления на главный элементвсех элементов столбца, содержащего главный элемент (в данном случае пятого столбца). Прибавляя теперь к каждой из строк схемы (столбцы 4-8) строку с главным элементом, умноженную предварительно на соответствующий множитель и третьего столбца, получим:

Здесь контроль производиться так же, как и в схеме единственного деления.

Выполненные действия привели к исключению из исходной системы неизвестной . В оставшейся системе (строки 4 и 5) выбираем новый главный элемент (это коэффициент при, т.е. 1,494).

Все последующие действия выполняются аналогично предыдущим, т.е. получаем:

В результате последней операции исключена неизвестная , и прямой ход завершен.

Строки, содержащие последовательно выбираемые главные элементы, - строки 2, 5 и 6 дают систему, эквивалентную данной:

Обратный ход:

Полностью схема с выбором главного элемента для нашего примера имеет вид:

Округляя запасной знак, окончательно получаем: =-0,44;=-0,12;=-0,17.

Итерационные методы решения систем линейных уравнений.

В отличие от прямых (точных) методов, итерационные методы являются бесконечно повторяющимися процессами. Если этот процесс сходящийся, то на каждом последующем шаге получается более точное приближение к искомому решению данной системы уравнений.

а) Метод простой итерации.

Для итерационных методов систему линейных уравнений приводят к виду. В качестве начального приближенияцелесообразно взять свободные членысистемы, а дальнейшиеk- ые приближения строить по формулам:

Если каждая из последовательностей приближений имеет предел, то совокупность чиселявляется решением заданной системы.

Действительно, так как .

б) Достаточный признак сходимости итерационного процесса.

Если максимальная сумма модулей коэффициентов при неизвестных каждого уравнения системы меньше единицы, т.е.то процесс итерации сходится.

Пример: Исследовать систему уравнений на сходимость итерационного процесса.

Решение.

Имеем:

Проверка: , то итерационный процесс для заданной системы трех уравнений сходиться.

в) Решение системы уравнений методом простой итерации.

Рассмотрим пример решения систем уравнений методом итерации:

предполагая, что абсолютные погрешности коэффициентов и свободных членов системы не превышают 0,00005.

Решение.

Для заданной системы уравнений удовлетворяется условие достаточности сходимости итерационного процесса.

Примем за начальные приближения решения свободные члены системы:

Последующие вычисления приближений выполняем по формулам:

Результат вычислений сведем в таблицу:

В данном случае пятое и шестое приближения решения системы имеют пять одинаковых десятичных знаков. Округляя запасной знак, окончательно имеем:

г) О приведении линейной системы к виду, пригодному к методу итерации.

Для любой системы с невырожденной матрицей существуют сходящиеся итерационные методы решения. Однако, не всегда эти методы удобны для практических вычислений.

Поэтому приведение системы линейных уравнений к видудолжно осуществляться так, чтобы выполнялся признак достаточности.

В том случае, если диагональные элементы матрицы А отлична от нуля, т.е. , и: то системуможно записать в виде:

,

а элементы матрицы С будут:

При этом, очевидно, модули диагональных коэффициентов матрицыбольше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов) строк этой матрицы, т.е..

Пример.

Привести к виду, пригодному для метода итерации, систему:

Решение:

В этой системе ,. Имеем:

Для полученной системы выполняются условия сходимости:

Пример. Система:

имеет матрицу, в которой диагональные элементы близки единице, а все остальные – значительно меньше единицы. Поэтому для применения метода итерации естественно записать заданную систему в виде:

Условия сходимости для полученной системы выполняются, т.к.:

д) Метод Зейделя.

Итерационный метод Зейделя решения линейных систем уравнений представляет собой видоизменение метода простой итерации.

В этом методе линейная система задается в виде , а приближения строятся по формулам:

Обычно этот метод дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации. При этом условия сходимости остаются верными и для метода Зейделя.

Пример. Методом Зейделя решить систему:

Решение.

Поскольку достаточные условия сходимости итерации процесса выполнены, т.е.: 0,1667+0,2500<1; 0,1250+0,0625<1; 0,2000+0,0667<1, то имеем решение системы.

Последовательные приближения для k=0; k=1:

Результаты вычислений сведем в таблицу:

Таким образом:

Численное интегрирование.

Задачей численного интегрирования является нахождение определенного интеграла, если подинтегральная функция задана таблично.

Ниже рассмотрены простейшие формулы приближенного интегрирования (часто называемые квадратурными формулами).

а) Метод прямоугольников.

Этот метод основании на непосредственном определении интеграла: гдеинтегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезкаи некоторому выбору точекна отрезках разбиения.

Принимая интегральную сумму за приближенное значение определенного интеграла, запишем квадратные формулы левых и правыхпрямоугольников:

—шаг, ;

—шаг, .

Очевидность этих формул следует из графической интерпретации приближенной площади криволинейной трапеции: ступенчатыми фигурами.

Пример. С помощью формул левых и правых прямоугольников вычислить , пологая.

Решение. Точками разбиения служат а значения подинтегральной функциив этих точка таковы:

По формулам левых и правых прямоугольников численные значения заданного интеграла равны: ,

Имеем, .

Очевидно, что увеличение числа разбиений отрезка дает более точный результат, но при этом увеличивается и число расчетов. Поэтому большой интерес представляют квадратурные формулы, дающие более точный результат при заданном разбиении отрезка.

б) Метод трапеций.

В этом случае интегральная сумма

есть среднее арифметическое

формул правых и левых прямоугольников:

(*)Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы, в которой подинтегральная функция заменена кусочно-линейной (говорят в этом случае о линейной интерполяции дискретной функции. Это означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей трапеций.

(*)Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы, в которой подинтегральная функция заменена кусочно-линейной (говорят в этом случае о линейной интерполяции дискретной функции. Это означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей трапеций.

Приведя в формуле (*) подобные члены, окончательно получаем:

—эту формулу принято называть общей формулой трапеций.

Пример. Пользуясь общей формулой трапеций вычислить

при .

Решение. Здесь .

в) Метод Симпсона (метод парабол).

Суть метода Симпсона заключается в замене дуги подинтегральной функции на участкепараболой (т.е. графиком квадратичной зависимости), проходящей через точки.

Имеем: , где— уравнение параболы.

Коэффициенты определяются из условия прохождения параболы через точки

Однако это приводит к довольно длинным выкладкам: .

Поступим иначе. Запишем искомую параболу на отрезке в виде:.

Положим , имеем:

(здесь ).

Аналогично:

,

.

Отсюда: .

Площадь под параболой есть

, или, учитывая, что

Окончательно:

.

Таким же способом можно подсчитать .

в) Метод Симпсона (метод парабол).

Суть метода Симпсона заключается в замене дуги подинтегральной функции на участкепараболой (т.е. графиком квадратичной зависимости), проходящей через точки.

Имеем: , где— уравнение параболы.

Коэффициенты определяются из условия прохождения параболы через точки

Однако это приводит к довольно длинным выкладкам: .

Поступим иначе. Запишем искомую параболу на отрезке в виде:.

Положим , имеем:

(здесь ).

Аналогично:

,

.

Отсюда: .

Площадь под параболой есть

, или, учитывая, что

Окончательно:

.

Таким же способом можно подсчитать .

Для интеграла по всему промежутку получаем:

Эта формула называется формулой Симпсона.

Пример. Найти по формуле Симпсона при.

Решение. Значения в точках отрезка:.

Формула Симпсона дает .

Т.к. , то ошибка

(или ).

В то же время ошибка общей формулы трапеций значительно выше:

(или ).

Пример. Найти .

Решение. Пусть .

Имеем: .

По формуле трапеции, получаем:

.

По формуле Симпсона, получаем:

.

Точное значение ,

а соответствующие погрешности равны и(илии).

Дифференцирование функций, заданных приближенно.

При вычислении производной функции, заданной таблицей, следует иметь в виду, что лучший способ найти по двум значениям функции— это взять такие значения справа и слева на равном расстоянии от значения, для которого ищется производная:

.

Аналогично,

.

Пример. Вычислить значения и, если

.

Решение. Результаты вычислений исведем в таблицу:

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5	1,6487 1,733 1,8221 1,9155 2,0138 2,1170	0,846 0,888 0,934 0,983 1,032	0,42 0,46 0,49 0,49

Численное интегрирование дифференциальных уравнений.

Решить дифференциальное уравнение численным методом — это значит для заданной последовательности аргументови числа, не определяя функцию, найти такие значения, чтои.

Очевидно, что уравнения , как решенияпри, должно существовать и быть единственным, т.е. функциядолжна быть непрерывной в рассматриваемой области по обоим аргументам и иметь ограниченную частную производную.

Излагаемые ниже методы численного решения дифференциального уравнения первого порядка легко переносятся на случай системы числа уравнений.

а) Метод Эйлера.

Этот метод состоит в том, что на малом промежутке изменения независимой переменнойинтегральная кривая дифференцируемого уравнениязаменяются отрезком касательной.

Отсюда .

(Действительно, ).

Теперь, принимая точку за исходную, можно точно таким же методом получить(здесь числоявляется шагом таблицы).

Геометрически интегральная кривая заменяется ломанной (называемой ломаной Эйлера).

Рабочая формула для определения значений по методу Эйлера имеет вид:

, где ,, .

Пример. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке таблицу значений решения уравненияс начальным условием, выбрав шаг.

Решение. Результаты вычислений сведем в таблицу:

						Точное решение
0 1 2 3 4 5	0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	1,0000 1.2000 1.3733 1.5294 1.6786 1.8237	0 0,3333 0,5928 0,7846 0,9532	1,0000 0,8667 0,7805 0,7458 0,7254	0,2000 0,1733 0,1561 0,1492 0,1451	1,0000 1,1832 1,3416 1,4832 1,6124 1,7320

Из таблицы следует, что абсолютная погрешность , а относительная погрешность.

Решение системы дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков методом Эйлера требует их преобразования к системам уравнений 1-го порядка.

Так, для системы

с начальными условиями иприближенные значенияивычисляются по формулам:

.

Пример. Применяя метод Эйлера, составить на отрезке таблицу значений решения уравненияс начальным условием, выбрав шаг.

Решение. С помощью подстановок из заданного уравнения получаем:

с начальными условиями .

В полученной системе:

.

Вычисления сведем в таблицу:

0 1 2 3 4 5	1,000 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5	0,77 0.726 0.679 0.629 0.576 0.521	-0,044 -0,047 -0,050 -0,053 -0,055	-0,44 -0,473 -0,503 -0,529 -0,551	-0,033 -0,030 -0,026 -0,022	-0,33 -0,296 -0,260 -0,222

В этой таблице первая строка заполняется так: для того,

что ;;;,

имеем ;

.

Используя формулы ,,

получаем

; ;

; .

Таком образом, во второй строке таблицы записываем

; ;;. По этим значениям находим:

;

,

и, следовательно,

;

;

; .

Заполнение таблицы при производится аналогично.

б) Метод Ронге-Кутта.

Этот метод, имеющий много общего с методом Эйлера, является методом повышенной точности.

Пусть на отрезке требуется найти численное решение уравненияс начальными условиями.

В методе Рунге-Кутта, так как и в методе Эйлера, последовательные значения искомой функцииопределяются по формуле.

Представим приращение функции членами довключительно ряда Тейлора разложения функции:

, где ,

, ,,,— производные, определяемые последовательным дифференцированием уравнения.

Вместо непосредственных вычислений приращения по полученной формуле в методе Рунге-Кутта определяются четыре числа;;;таких, что:.Таким образом, для каждой парынаходяти затем.

Вычисления по методу Рунге-Кутта удобно вести по схеме:

В столбце 2 и 3 текущей строки записывается нужное значение и, а результаты подставляются в правую часть уравнения, записывается в четвертый столбец той же строки. В пятом столбце таблицы получены значения столбцаумножаются на шаг интегрирования. Результаты шестого столбца суммируются и делятся на 6, т.е. определяетсяи.

295