II.Метод хорд

Этот метод нахождения простых корней широко применяется при решении конечных уравнений. Другие названия рассматриваемого метода: метод ложного положения, метод линейной аппроксимации, метод пропорциональных частей, метод секущих.

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дуга кривойy=f(x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ox, т.е. это точка x=c.

Пусть дано уравнение , где-непрерывная функция, имеющая в интервалепроизводные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке, т.е..

Существуют четыре случая расположения дуги кривой, учитывая значения первой и второй производных:

Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. .

Пусть, например, График функции проходит через точки. Искомый корень уравненияесть абсцисса точки пересечения графика функциис осьюOx. Эта точка нам не известна, но вместо нее возьмем точку с пересечения хорды с осью Ox. Эта точка x₁=c является приближенным значением корня.

Уравнение хорды, проходящей через точки А₀ и В имеет вид:

а абсцисса ее точки пересечения x₁=c с осью Ox (т.е. когда ) определяется формулой:

Очевидно, что точка x₁=c обязательно окажется внутри отрезка , при этом она будет тем ближе к искомому корню, чем меньше кривизна графика функции, а так как кривизна определяется формулой:

Точка x₁=c будет тем ближе к некому корню , чем меньшеи чем большена отрезке.

Замечание Хорда всегда расположена со стороны вогнутости дуги графика и, как видно из приведенных выше рисунков, точки x₁=c всегда ближе точки x₀ к тому концу отрезка , в котором знак функциипротивоположен знаку ее второй производнойf’’(x).

Пример

Методом хорд уточнить корень уравнения отделенный на отрезке.

Решение

Имеем =,f’(x)=3x²-1, f’’(x)=6x. Так как на отрезке , то точкаx₁=c будет левым концом нового отрезка ;

Отметим, что приближенное значение с взято с недостатком, т.к. с<x₀ и при округлении с избытком есть опасность «перешагнуть» через корень x₀. В качестве отрезка для дальнейшего уточнения следует взять [1,1;2].

Если значение приближенного корня x1 не устраивает, его можно уточнить, применяя метод хорд к отрезку . Соединив точкуA₁(x₁,f(x₁)) с точкой B(b,f(b)) находим x₂ – точку пересечения хорды с осью Ox:

Продолжая этот процесс, находим:

и вообще

Процесс продолжается до тех пор, пока не получим приближенный корень с заданной степенью точности.

По приведенным выше формулам вычисляются корни и для случая, когда

Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. .

Пусть, например, В этом случае соединив точки, имеем уравнение хорды, проходящей черезA и B_0:

Найдем x₁ как точку пересечения хорды с осью Ox, полагая y=0:

Корень теперь заключен внутри подотрезка .

Применяя метод хорд к отрезку , получим:

и вообще

По этим же формулам находится приближенное значение корня и для случая, когда

С учетом сделанного выше отметим, что выбор тех или иных формул метода хорд обуславливается правилом – неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Так, если , то неподвижен конецb, а все приближения к корню x₀ лежат со стороны конца a; если же , то неподвижен конецa, а все приближения к корню x₀ лежат со стороны конца b.

При оценке погрешности приближения пользуются формулой:, где- точное значение искомого корня, аи-приближения к нему, полученные на(n-1) и n-м шагах.

Эта формула применима, если выполнено условие где

Пример

Методом хорд уточнить до меньший корень уравнения, отделенный на отрезке [-3,-2].

Решение

Проверим выполнимость условия , учитывая что,.

Возьмем середину отрезка [-3,-2], т.е. точку x=-2,5, и выберем интервал [-3,-2,5]. Снова проверим условие :

.

Теперь возьмем середину отрезка [-3,-2,5], т.е точку x=-2,75.

На суженном отрезке [-2,75;-2,5] сохраняется условие монотонности функции (условие ). Действительно,f(-2,75)=-2,75³+3*2,75²-3<0; f(-2,5)=-2,5³+3*2,5²-3>0;

т.е. 6,189<2*3,75.

Таким образом, для оценки погрешности корня, лежащего на отрезке [-2,75;-2,5], можно пользоваться формулой , т.е. процесс последовательного приближения к корню следует продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие.

Определим знак второй производной f’’(x) и установим, какой конец отрезка будет неподвижным при использовании метода хорд. Находим f’’(x)=6x+6 и . Значит, за неподвижный конец отрезка нужно приниматьx=-2,75, а вычисление вести по формулам: и, гдеa=-2,75; f(a)=-1,1019.

Если последнее выражение представить в виде: , то сразу же можно будет получать разность между двумя последовательными приближениями и производить проверку на окончание вычислений, т.е. проверять выполнение неравенства:

Все результаты сведем в таблицу:

n	xn			3	f(xn)	xn-a
0	-2,5	-15,625	6,250	18,75	0,125	0,25	-0,025
1	-2,525	-16,098	6,3756	19,1268	0,0288	0,225	-0,006
2	-2,531	-16,213	6,4060	19,2180	0,0050	0,219	-0,0009
3	-2,5319

Из этой таблицы следует, что , поэтому, округляя x³ до тысячных долей, получаем .

Пример

Методом хорд уточнить до корень уравнения, заключенный на отрезке.

Решение

Перепишем уравнение в виде и определимf’(x)=1-cos x. Для проверки выполнения условия составим вспомогательную таблицу:

a	b	знаки		M	m	?		знак
		f(a)	f(b)
0	1,57	-	+	1,00	0	10	0,785	-
0,785	1,57	-	+	1,00	0,29251	12*0,29251	1,1775	+
0,785	1,1775	-	+	0,6172	0,2925	0,61722*0,292	0,982	-
0,982	1,1775	-	+	0,6172	0,4446	0,6172<2*0,4446

Из последней строки этой таблицы видно, что на отрезке [0,982;1,1775] условие выполняется и, следовательно, при оценке погрешности приближенного значения корня по методу хорд можно воспользоваться неравенством. Корень уравнениянаходится на отрезке [0,982;1,1775].

Вторая производная функции на этом интервале положительна (т.к. f’’(x)=sinx>0 ) и совпадает со знаком функции в точке b=1,1775.

Следовательно, этот конец отрезка является неподвижным, а все приближения к корню x₀ лежат со стороны конца a=0,982.

Для вычисления приближений по методу хорд в данной задаче пользуемся формулами:

, , гдеb=1,1775, f(b)=0,00416.

Составим следующую таблицу:

n	xn	-sin xn		b-xn
0	0,982	-0,83161	-0,09961	0,196	0,189
1	1,171	-0,92114	-0,00014	0,007	0,0002
2	1,1712

Итак, с точностью до