I. Метод проб

В этом методе точку «с» на отрезке [a,b] выбирают произвольно, а в качестве нового отрезка (подотрезка [a,b]) берут тот из отрезков [a,c] или [b,c], на концах которого функция имеет разные знаки, что определяется непосредственной проверкой.

Однако, в чистом виде метод проб применяется редко, так как успех его в значительной степени зависит от удачи в выборе точки «с».

Для расчетов в ЭВМ метод проб применяется в виде так называемого метода половинного деления (метода дихотомии).

Пусть корень уравнения=0 отделен на отрезке [a,b], то есть , причемb-a<(здесь -точность, с которой необходимо вычислить приближенное значение корня ; -непрерывная функция )

Возьмем на отрезке [a,b] точку «с» такую, что [a,c]=[c,b]=(b-a)/2, то есть с=(b+a)/2. Если , то «с» - точный корень.

Уравнения . если же, то из двух образовавшихся отрезковивыберем тот, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков, выбранный отрезок обозначим. Затем отрезоктакже делим пополам и проводим те же рассуждения. Получим отрезок, длина которого равна. Процесс деления отрезка пополам производим до тех пор, когда на каком-тоэтапе либо середина отрезка будет корнем уравнения, либо будет получен отрезоктакой, чтои(здесь числопоказывает число делений пополам сужаемых участков). Числаи- корни уравненияс точностью до.

За приближенное значение искомого корня будем брать , причем погрешностьне превышает.

Пример

Методом проб уточнить до меньший корень уравнения

Решение

Отделим корни этого уравнения аналитически. Функция определена на всей числовой оси. Приравняемнулю, т.е. и вычислим ее (производной) корни:

Составляем таблицу знаков функции:

x	-∞	-2	0	+∞
Sign f(x)	-	+	-	+

Отсюда видно, что меньший корень является точкой отрезка [-∞;-2].

Уточнение этого корня методом проб, если , даст

Это значит, что меньший корень заданного уравнения x₀ содержится в отрезке (суженном по отношению к [-∞;-2]) [-3;-2], т.е.

Дальнейшее уточнение приближенного корня проведем методомдихотомии, сведя результаты вычисления в таблицу означают, чтои:

n
0	-3	-2	-2,500	-15,625	18,750	0,125
1	-3	-2,500	-2,750	-20,800	22,689	-1,111
2	-2,750	-2,500	-2,625	-17,990	20,670	-0,320
3	-2,625	-2,500	-2,563	-16,840	19,701	-0,139
4	-2,563	-2,500	-2,532	-16,230	19,233	0,003
5	-2,563	-2,532	-2,548	-16,540	19,479	-0,071
6	-2,548	-2,532	-2,540	-16,390	19,366	-0,034
7	-2,540	-2,532	-2,536	-16,310	19,293	-0,014
8	-2,536	-2,532	-2,534	-16,270	19,263	-0,007
9	-2,534	-2,532	-2,533	-16,250	19,248	-0,002
10	-2,533	-2,532

Итак, меньший корень уравнения равен .

Примечание В методе проб положение точки с определяется независимо от свойств функции f(x) – левой части заданного уравнения. Естественно ожидать, что учет свойств этой функции должен улучшить получаемые приближения.