0 X

То эта функция имеет три простых действительных корня.

2. Если кривая касается оси абсцисс, как на графике

y

0

То уравнение имеет двукратный корень. Так уравнениеимеет корни=-2, представима графиком

y

0 x

()

3. Если уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в точке касания с осью абсцисс кривая имеет точку перегиба. Так, например, уравнениеимеет трехкратный корень, равный единице:

Действительно

y

1 x

4. Наличие на графике полинома каждого минимума, при которомположительно, и каждого максимума с отрицательным значениемсвидетельствует о наличии у этого полинома пары комплексных корней. Данные условия не принадлежат в необходимым условиям, а являются только достаточными.

Так полином, график которого задан в виде:

y

C

x

A B

Имеет по крайней мере три пары комплексных корней (о чем свидетельствует форма графика полинома в окрестности точек A, B, C)

Отделение корней базируется на теоремах:

-Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то есть , то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения=0.

Эта теорема формулирует необходимые условия существования корня уравнения на отрезке.

-Если функция непрерывна и монотонна на отрезке [a,b] и , то внутри отрезка [a,b] содержится корень уравнения =0, и этот корень единственный.

Эта теорема формулирует необходимые и достаточные условия существование единственного корня уравнения на отрезке.

-Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и , а производнаясохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка [a,b] существует корень уравнения =0 , и при этом единственный. (В этой теореме признаком монотонности является знакопостоянство).

В связи с вышеизложенным, порядок действий по определению корней уравнения аналитическим методом следующий:

1. Находят первую производную исходного уравнения =0;

2. Составляют таблицу знаков функции , полагаяx равным: а)корням производной ;b) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного);

3. Определяют интервалы монотонности, на концах которых принимает значения противоположных знаков (внутри этих интервалов содержится по одному и только одному корню уравнения).

Пример: Отделить корни трансцендентного уравнения аналитическим методом.

Решение: Имеем . Область определения- вся числовая ось. Находим первую производную:

Вычисляем корни :

,

=.

Составляем таблицу знаков функции (полагаях равным корням и граничным значениям)

x	-∞	2,85	+∞
	+	-	+

Здесь

Очевидно, что заданное уравнение имеет два действительных корня(т.к. происходит две перемены знака функции) и два интервала монотонности функции (-∞;2,85),( 2,85; +∞)

Составим новую таблицу (с более мелкими интервалами изоляции корня):

х	-1	0	1	2	3	4	5
	+	-	-	-	-	-	+

Отсюда корни уравнения заключены в промежутках (-1;0) и (4;5)

Пример: Отделить корни уравнения

Решение: Функция и ее производнаянепрерывны на всей числовой оси.

Определим интервалы монотонности . Для этого решим уравнение. Его корни. Следовательно интервалами монотонностиявляются интервалы (-∞;),(,), (,+∞)

При этом

Поскольку на первых двух интервалах функции не меняет знака, то единственный действительный корень находится в третьем интервале.

Из найденного бесконечного интервала (,+∞) выделим отрезок, содержащий искомый корень. Так как,, то искомый корень находится в отрезке [1;2]. Дальнейшее сужение границ найденного промежутка- это уже новая задача –задача об уточнении корня.

Уточнение корня уравнения.

Пусть тем или иным способом удалось отделить корни уравнения =0, а на отрезке [a,b] отделен корень .

В качестве приближенного значения корня можно взять любое значение «с» из отрезка

[a,b]- все дело только в том, какова будет допущенная при этом ошибка -с и допустима ли такая ошибка по условиям задачи.

Поскольку точное значение неизвестно, то ошибка-с вычислена быть не может, но может быть найдена оценка сверху для модуля этой ошибки. Итак, будем рассматривать абсолютную погрешность найденного приближения значения корня:

Так как отделен на отрезке [a,b], то можно принять . Отсюда следует, что даже при самом __314_____ выборе из отрезка [a,b] вместо искомого корня его приближенного значения «с», возникающая при этом погрешность будет тем меньше, чем длинаb-a этого отрезка.

Уточнением корня будем называть построение такого подотрезка , отделяющего кореньотрезка [a,b], что

Если «с»-некоторая точка отрезка [a,b], такая, что (противное означает, что корень уже найден точно), то в качестве такого подотрезкаможет быть выбран тот из отрезков [a,c] или [b,c], который содержит искомый корень . В зависимости от способа выбора такой точки «с» получаем различные методы уточнения.