Глава 4. Вычислительная математика.

Предмет, цель, задачи читаемого курса.

• Предмет вычислительной математики – методы получения решения математических задач в виде числового (точного или приближенного) результата с учетом наложенных требований и ограничений (таких как, например, устойчивость, экономичность, эффективность, сходимость и т.д.).

• Цель чтения вычислительной математики – ознакомление студентов специальности 220100 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» с основными численными методами решения прикладных задач и техники.

• Задачи вычислительной математики – методы представления решений (точно или приближенно) в виде последовательности арифметических операций.

Замечание Любой численный метод состоит из алгоритма решения (т.е. точного описания последовательности арифметических операций) и оценки погрешности этого алгоритма.

• Содержанием читаемого курса являются численные методы алгебры и математического анализа.

Рекомендуемая литература

Основная (из библиотечного фонда МГИЭМ)

1. Пирунов У.Г. «Численные методы», М., «Дрофа», 2003, 224 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. «Численные методы», М., «Лаборатория базовых знаний», 2002, 672 с.

Дополнительная

3. Костомаров Д.П., Корухова Л.С., Маншелей С.Г. «Программированные и численные методы», М., МГУ, 1998, 224 с.

4. Вержбицкий В.М. «Основы численных методов», М., В. школа, 2002, 840 с.

5. Бинди Б. «Методы оптимизации. Вводный курс», М., «Радио и связь», 1998, 128 с.

6. Деммель Дж. «Вычислительная линейная алгебра», М., «Мир», 2001.

Методология решения задач вычислительной математики

Этапы решения задачи в общем случае следующие:

• Составление континуальной математической модели;

• Построение дискретной (вычислительной) модели (на базе континуальной);

• Разработка вычислительного алгоритма с учетом требований точности и экономичности;

• Перевод вычислительного алгоритма на язык вычислительной машины.

Исходные понятия

• Величина – то, что можно измерить, исчислить.

• Положительная скалярная величина – величина, описываемая одним числом, не изменяющимся при переходе от одной системы координат к другой ( Пример – длина, площадь, объем, масса, температура и т.д.).

• Векторная величина – величина, описываемая n числами (компонентами вектора).

• Измеряемая величина – свойство или параметр объекта.

• Измерение – отображение измеряемой величины на числовую ось.

• Приближенная величина – то, что заменяет точную величину.

• Математическая модель – гомоморфное отображение объекта (явления, процесса и т.д.) на предметном языке.

• Вычисление – вычисление арифметических и логических операций над числовыми данными с целью получения требуемого результата (числового).

• Вычислительный алгоритм – конечная последовательность предписаний решения задачи с заданной точностью посредством конечного количества операций (арифметических и логических).

• Погрешность – величина, характеризующая неточность математической модели и (или) вычислительного алгоритма.

• Корректная задача (корректно поставленная задача) – задача, для которой выполнимы условия корректности: а) разрешимость при любых допустимых входных данных, б) каждым исходным данным соответствует только одно решение, в) устойчивость решения.

• Некорректная (некорректно поставленная задача) – задача, для которой не выполняется хотя бы одно из условий корректности.

• Устойчивость вычислительного алгоритма – относительно слабое влияние ошибок округления в процессе решения задачи на результат.

• Округление числа – приближенное представление числа в некоторой системе счисления с помощью конечного количества разрядов.

• Ошибка (погрешность) округления – погрешность представления числа при его округлении.

• Численные методы – методы приближенного или точного значения задач чистой или прикладной математики, основанные на построении конечной последовательности действий над конечным множеством чисел.