Классические логические исчисления.

Понятие “исчисление” является экспликацией интуитивных понятий “вывод”, “доказательство”, “оперирование”, “вычисление”.

В математической логике исчисление является частным случаем формальных (дедуктивных) систем F.S. вида <L, D>, задаваемое правилами синтаксиса (образования) языковых выражений и правилами построения выводов (дедуцирования). В том случае, если в исчислении не выделяют аксиомы, то говорят о натуральных исчислениях.

Ниже будем изучать классические исчисления высказываний (И.В.) и предикатов (И.П.) как гомоморфные отображения (модели) логики высказываний и логики предикатов.

Цель классических и.В. И и.П.

Целью И.В. и И.П. является описание кланов всех общезначимых (тождественно-истинных) формул (часто называемых тавтологиями, или законами).

Метасимволика и.В. И и.П.

Г- множество посылок (гипотез). Обычно Г записывают в виде Г=А₁, А₂,…, А_n (Г читается как “гамма”)

Ф – теорема; А_i – метаформула; R(J) – множество правил вывода в исчислении;

| - символ отношения дедуктивного вывода.

Пример. Запись Г|Ф ( из гипотез Г дедуктивно выводима формула Ф) означает А₁, А₂,…, А_n |Ф, или А₁, А₂,…, А_n

Ф

Пример. Запись |А означает, что А доказуема.

Пример. Запись А₁, А₂,…, А_n | означает, что множество посылок противоречива.

Пример. |=, ₁ |= ₂, ₁ | ₂ – метавысказывания.

Замечание. Специфика отношений |= и | в том, что в отличие от логических связок (отношений отрицания, конъюнкции, дизъюнкции) они реализуются не на денотатах высказываний, а на пропозициональных формулах.

Построение логических исчислений.

Построение (задание) исчислений качественно отличаются видом аксиоматики – конечным или бесконечным множеством аксиом.

Аксиома – формула объектного языка, в рамках которого строится исчисление. Система аксиом – конечное множество аксиом. Бесконечное множество аксиом задается перечислением конечного множества схем аксиом. Схема аксиом – выражение метаязыка, представляющее бесконечное множество формул определенной структуры.

Классическое и.В.

Ниже рассмотрим различные И.В., отличающиеся аксиоматикой. Задание классического И.В. в Я.Л.В. будем осуществлять с привлечением схем аксиом и одного вывода.

a) I₁ A

I₂ (AB)((A)

I₃ (AB) ((A(BC)) (AC

I₄ (AB)

I₅ (AB)B

I₆ A (B (AB))

I₇ A (AB)

I₈ B (AB)

I₉ (AC) ((BC) ((AB)C))

I₁₀ 

Правило вывода для этой аксиоматики – правило модус-поненс (Modusponens,m.p.), часто называемого правилом отделения:

137