1) Пусть последовательность k0k2kzимеет видq0a2a1a4q1a1qza4a2(очевидно, что последовательность команд следующая:q0a2q1a4 dп,q1a1qza2dЛ).

Имеем следующую интерпретацию смены ситуаций:

a0

a2

a1

a0

a0

k₀

a0

a4

a1

a0

a0

k₁

a0

a4

a2

a0

a0

k_z

2) Машина Т=<a₀, a, q₀, q_z, q₀ a₀ q₀ a d_п, q₀ a q₀ a d_п> будет работать бесконечно, заполняя все ячейки ленты символами а вправо от начальной пустой ячейки (исходная информация на ленте - пустые символы а₀ в каждой ячейке ленты).

Примечания:

1. Соответствие, устанавливаемое машиной Тьюринга между теми исходными данными, к которым она применима ( то есть если она приводит к результату) и результатами ее работы представляет собой некоторую словарную функцию (в математическом смысле) Т(^*_исх^*_рез_исх_рез_пром.

2. Если для функции имеется машина ее реализующая, то говорят, что эта функция вычислима по Тьюрингу. Функция, для вычисления которой существует алгоритм, называется вычислимой.

3. Поскольку слово (^*, m) можно отождествить с натуральным числом (в m-ичной системе счисления), то уточнение понятия вычислимой словарной функции приводит и к уточнению понятия вычислимой числовой функции f:N^kN, kN. Тьюринг доказал. что класс числовых функций, вычислимых на машине Тьюринга, совпадает с классом частично-рекурсивных функций.

Формальное определение машины Тьюринга.

Машина Тьюринга Т=<A,Q,> полностью определяется:

1. внешним алфавитом А=а₀, а_1… а_m;

2. Алфавитом внутренних состояний Q=q₀, q_1… q_n;

3. Программой, то есть совокупностью выражений Т(i, j) (i=0,n; j=0,m), каждое из которых имеет вид следующей команды q_j a_i  q_k a_L d_t (k=0,n; L=0,m; d_t  d_Л, d_п, d_н.

Машина Тьюринга есть формальная детерминированная система F.S=<L,D>=<A,S;A_x,R>, порождающая множествоLсвоих конфигураций (машинных слов)₁q_ja_i₂(₁,₂А^*,₁и₂ могут быть пустыми). Единственная аксиома – начальная конфигурацияq₀(А^*), правила выводаR– система команд (программа)Т(i,j).

Примечания:

1. Очевидно, что всякий алгоритм является формальной системой F.S, что следует из тезиса Тьюринга: «Любой алгоритм может быть реализован машиной Тьюринга».

2. Поскольку машина Тьюринга есть алгоритм, то записью последнего является программа , а алгоритмом выполнения – описание устройства машины Тьюринга.

Пример:

Построить машину Тьюринга для вычисления базисной рекурсивной функции f(x)=x+1, xN₀ Имеем T=<A=a₀, Q=q₀, q_z, =

A\Q	q0	qz
a0	dн qz	a0 dн qz
	dn q0	dн qz

>

или

Пусть:

а) х=0, тогда q₀ a₀…a₀ q_zd_н;

б) х=2, тогда q₀ a₀ q₀ d_n q₀ a₀ d_n q_z d_н

Основной тезис Тьюринга.

Утверждение: «Для любой вычислимой функции можно построить машину Тьюринга, реализующую ее» - является гипотезой, называемой тезисом Тьюринга. (Часто этот тезис формулируют так: «Всякая вычислимая функция вычислима по Тьюрингу.)

Напомним, что этот тезис нельзя доказать, так как он объединяет два понятия – расплывчатое, интуитивное понятие вычислимой функции и строгое понятие машины Тьюринга.