Лекции Маркина / Содержание

Содержание

Глава 1. Дискретная математика……………………………………………...3

Введение…………………………………………………………………………...4

Теория множеств………………………………………………………………….5

Основные понятия содержательной теории множеств…………………………8

Алфавит языка теории множеств……………………………………………….12

Языковые выражения теории множеств……………………………………….16

Основы комбинаторного анализа………………………………………………24

Аксиоматики теории множеств…………………………………………………27

Соответствия……………………………………………………………………..29

Бинарные соответствия………………………………………………………….29

Классификация бинарных соответствий……………………………………….31

Операции над соответствиями………………………………………………….35

Бинарные отношения……………………………………………………………37

Алгебраические системы и морфизмы…………………………………………38

Алгебры и модели………………………………………………………………..39

Булева алгебра…………………………………………………………………...44

Алгебра Кантора………………………………………………………………....45

Булева алгебра логики…………………………………………………………..46

Алгебра логики…………………………………………………………………..48

Реляционные системы…………………………………………………………..50

Морфизм алгебраических систем………………………………………………52

Теория графов……………………………………………………………………59

Сети……………………………………………………………………………….60

Классификация сетей……………………………………………………………61

Язык теории графов………...…………………………………………………...62

Гиперграфы………………………………………………………………………65

Операции над гиперграфом и гиперграфами…………………………………..74

Жадный (градиентный) алгоритм и матроиды………………………………...77

Псевдографы……………………………………………………………………..80

Специфические способы представления графов………………………………89

Основные теоремы, леммы и критерии теории графов……………………….92

Глава 2. Математическая логика и теория алгоритмов…………………..97

Математическая логика……………………………………………………………….98

Парадигмы формальной логики………………………………………………...99

Предмет, цель, задачи и содержание читаемого курса………………………..100

Место читаемого курса о законах и формах правильного мышления……….102

Концептуальный базис математической логики………………………………105

Построение математической логики…………………………………………...111

Язык классической логики высказываний……………………………………115

Классическая логика высказываний…………………………………………..118

Язык классической логики предикатов (ЯЛП)……………………………….122

Семантика ЯЛП………………………………………………………………...128

Классическая логика предикатов……………………………………………...129

Алгебра логики предикатов……………………………………………………131

Квантификация предикатов……………………………………………………133

Классические логические исчисления……….……………………………….135

Теория алгоритмов…………………………………………………………………….138

Вводные положения……………………………………………………………138

Предмет и содержание читаемого курса……………………………………..139

Интуитивное (наивное) понятие алгоритма как основное первичное

понятие математики……………………………………………………………139

Основные требования к алгоритмам………………………………………….140

Основная терминология теории алгоритмов…………………………………142

Основные теоремы теории алгоритмов……………………………………….142

Параметры алгоритма………………………………………………………….142

Основная гипотеза теории алгоритмов……………………………………….143

Алгоритмические (формальные математические) модели…………………..143

Блок-схемы алгоритмов………………………………………………………..144

Машина Тьюринга……………………………………………………………...145

Формальное определение машины Тьюринга………………………………..150

Основной тезис Тьюринга……………………………………………………..150

Нормальные алгорифмы (алгоритмы)………………………………………...151

Рекурсивные функции………………………………………………………….153

Примитивно-рекурсивные функции…………………………………………..154

Оператор минимизации………………………………………………………..156

Основной тезис Черча………………………………………………………….157

Алгоритмически неразрешимые проблемы…………………………………..157

Глава 3. Теория автоматов…………………………………………………..159

Вводные положения……………………………………………………………160

Основные понятия теории автоматов…………………………………………160

Автоматы и формальные языки……………………………………………….161

Формальные грамматики………………………………………………………162

Деревья вывода предложений…………………………………………………162

Регулярная грамматика и конечный автомат…………………………………167

Машины Тьюринга как распознаватели………………………………………168

Линейно-ограниченные автоматы…………………………………………….171

Магазинные автоматы………………………………………………………….173

Конечные автоматы…………………………………………………………….176

Основные понятия……………………………………………………………..176

Общая блок схема конечных автоматов……………………………………...176

Классификация конечных автоматов…………………………………………176

Примеры конечных автоматов………………………………………………..179

Поведение конечных автоматов………………………………………………182

Тернарное отношение………………………………………………………….183

Способы задания конечных автоматов……………………………………….183

Описание функционирования конечного автомата………………………….184

Описание поведения конечного автомата…………………………………….185

Анализ конечных автоматов…………………………………………………...188

Синтез конечных автоматов…………………………………………………...191

Изоморфизм и эквивалентность конечных автоматов……………………….193

Композиция автоматов…………………………………………………………196

Минимизация структуры конечного автомата……………………………….198

Моделирование автоматных систем сетями Петри………………………….204

Сеть Петри………………………………………………………………………204

Выполнение сети Петри………………………………………………………..205

Интерпретация сети Петри…………………………………………………….208

Основные свойства сети Петри………………………………………………..210

Глава 4. Вычислительная математика…………………………………….214

Предмет, цель, задачи читаемого курса………………………………………215

Исходные понятия……………………………………………………………...215

Структура погрешности………………………………………………………..216

Оценка погрешности…………………………………………………………...216

Основные теоремы о представлении чисел

в позиционной системе счисления…………………………………………….216

Запись действительных чисел в ЭВМ………………………………………...217

Приближенные значения числа……………………………………………….218

Округление чисел………………………………………………………………219

Формула верных знаков приближенного числа……………………………...220

Вычисление с учетом погрешностей………………………………………….221

Правила подсчета цифр………………………………………………………...227

Погрешности вычисления значений функции………………………………..229

Определение допустимой погрешности аргументов

по допустимой погрешности функции………………………………………..234

Приближенные методы решения конечных уравнений и систем…………...235

Конечные уравнения…………………………………………………………...236

Вычисление значений многочленов…………………………………………..238

Схема Горнера………………………………………………………………….240

Определение числа действительных корней алгебраического уравнения....245

Нахождение области существования

корней алгебраического уравнения…………………………………………...247

Графические методы решения уравнений и систем…………………………249

Графические методы решения систем уравнений……………………………251

Отделение корней конечных уравнений……………………………………...252

Уточнение корня уравнения…………………………………………………...256

Методы решения систем линейных уравнений………………………………273

Численное интегрирование……………………………………………………286

Дифференцирование функций, заданных приближенно…………………….291

Численное интегрирование дифференциальных уравнений………………...292

Глава 5. Основы теории управления………………………………………296

Введение………………………………………………………………………...297

Предмет, цель курса……………………………………………………………298

Концептуальный базис и логика построения читаемого курса……………..298

Фундаментальные принципы управления……………………………………302

Фазовые пространства………………………………………………………….305

Основные языки представления моделей объектов

управления в пространстве состояний………………………………………..309

Линейные системы управления……………………………………………….318

Элементарные звенья управления…………………………………………….327

Эквивалентные преобразования структурных схем…………………………331

Весовая функция систем управления…………………………………………337

Локальные свойства звеньев, охваченных обратной связью……………….338

Анализ линейных систем управления………………………………………..339

Анализ устойчивости линейных САУ………………………………………..341

Основные понятия теории устойчивости…………………………………….341

Качественная теория дифференциальных уравнений……………………….346

Критерии устойчивости………………………………………………………..346

Содержание…………………………………………………………………….351

98