- •9) Сумма вероятностей событий, образующих полную группу.
- •Предмет теории вероятностей. Событие. Классификация событий.
- •2)Классическое и статистическое определение вероятностей.
- •3)Геометрическая вероятность
- •4)Элементы комбинаторики
- •5) Произведение событий. Зависимые и независимые события. Условная вероятность события. Теоремы умножения вероятностей.
- •6)Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
- •7) Сумма событий. Совместные и несовместные события. Теоремы сложения вероятностей.
- •8) Следствия из теорем сложения и умножения.
- •9) Сумма вероятностей событий, образующих полную группу.
- •10)Вероятность противоположного события. Вероятность осуществления только одного и хотя бы одного события.
- •11)Условная вероятность. Теорема умножения двух зависимых событий.
- •12) Теорема сложения вероятностей совместных событий.
- •Формулировка
- •Следствие
- •16. Наивероятнейшее число появления события а в n независимых испытаниях
- •19. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •20. Законы распределения случайных величин
- •Свойства дисперсии
- •25.Математическое ожидание непрерывной случайной величины:
- •26. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
- •27.Моменты, коэффициенты асимметрии и эксцесса
- •29. Закон распределения вероятностей многомерных с.В.
- •30.Числовые характеристики системы двух дтскретных случайных величин
- •31.Корреляционный момент. Коэффициент корреляции
- •32.Функцич распределения вероятностей
- •34.Условные законы распределения составляющих
- •35.Функция случайных аргументов
- •36.Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики
- •37.Неравенство Чебушева
- •39. Теорема Бернулли
- •40 Центральная предельная теорема теории вероятностей . Теорема Ляпунова
- •41. Классификация точечных оценок
- •43. Числовые характеристики выборки и методы их расчета переходом к условным вариантам.
- •Выборочное среднее
- •44. Эффективные, несмещенные и состоятельные оценки генеральных параметров по выборочным данным.
- •45. Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней
- •46. Точечная оценка генеральной дисперсии по выборочной средней
- •47 Исправленная дисперсия
- •48.Интервальные оценки. Доверительный интервал. Надежность. Доверительный интервал оценки параметров нормального распределения.
- •49. Элементы корреляционного анализа. Линейная корреляция. Уравнения прямых линий регрессии. Коэффициент корреляции. Оценка коэффициента корреляции по выборочным данным.
- •Линейная корреляция
- •50. Определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Формула для вычисления коэффициента корреляции.
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равно нулю: . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: . Следствие. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин. 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: .
Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и вероятность непоявления этого события в одном испытании: .
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: . Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины.
23. Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.
Определение
Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:
.
То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины называют функцию , значение которой в точке равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .
Свойства
непрерывна справа:
не убывает на всей числовой прямой.
.
.
Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.
По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.
В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.
24. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию – первую производную от функции распределения вероятностей : . Таким образом, функция распределения вероятностей является первообразной для плотности распределения вероятностей. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах: . Следовательно, зная плотность распределения вероятности , можно найти функцию распределения по формуле .
Свойства плотности распределения вероятностей
1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция: . 2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от до равен единице: .
Вероятностный смысл плотности распределения вероятности. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ) произведению плотности распределения вероятности в точке на длину интервала : .