8) Следствия из теорем сложения и умножения.

  Сложение:

 Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:

            Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для  слагаемых:

- формула включений и исключений.

 Умножение:

Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:

Следствие 2. Обобщим теорему на случай   событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились:

.

9) Сумма вероятностей событий, образующих полную группу.

Теорема. Сумма вероятностей событий  , образующих полную группу, равна единице:

Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

(2.1)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

(2.2)

Сравнивая (2.1) и (2.2), получим

10)Вероятность противоположного события. Вероятность осуществления только одного и хотя бы одного события.

Вероятность противоположного события называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через  , то другое принято обозначать  .

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Доказательство. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Замечание 2.1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через  , то вероятность другого события обозначают через  . Таким образом, в силу предыдущей теоремы

Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.(*)

11)Условная вероятность. Теорема умножения двух зависимых событий.

Условная вероятность

Пусть   и   — зависимые события. Условной вероятностью   события   называется вероятность события  , найденная в предположении, что событие   уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий   и   равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:  .

12) Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема сложения для совместных событий

Суммой 2-х совместных событий называют событие, состоящее в появлении либо события A, либо события B, либо обоих сразу.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Доказательство:

A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)

Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Событие A=AB+AB,

Событие B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B),  где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A),  где A и B - зависимые;

13. Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

ФормулировкаПусть дано вероятностное пространство , и полная группа попарно несовместных событий , таких что       . Пусть — интересующее нас событие. Тогда

.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть — случайная величина, имеющая распределение

.

Тогда

,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

14. Вероятность гипотез. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А).

Теорема Байеса (или формула Байеса) — одна из основных теорем теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны. Названа в честь её автора, преп. Томаса Байеса (посвящённая ей работа «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances» впервые опубликована в 1763 году,^[1] через 2 года после смерти автора). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Психологические эксперименты^[2] показали, что люди, при оценках вероятности, игнорируют различие априорных вероятностей (ошибка обоснования оценки (англ.)русск.), и потому результаты по формуле Байеса и правильные результаты могут сильно отличаться от ожидаемых.