2)Классическое и статистическое определение вероятностей.

Свойства вероятностей.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события..

Классическое определение. Вероятность события  равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

 

где   — вероятность события  ,   — число благоприятствующих событию  исходов,   — общее число возможных исходов.

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события  в опытах.

Относительная частота появления события   вычисляется по формуле

где   - число появления события  в серии из   опытов (испытаний).

Статистическое определение. Вероятностью события   называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота   при неограниченном увеличении числа опытов.

Из данных определений вероятности события    всегда выполняется неравенство

.

Свойства вероятностей.

1. Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем  .

2. Для достоверного события U имеет место равенство P(U)=1. Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.

3. Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).

4. Для произвольных событий А и В

.

Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.

5. Для противоположных событий А и   имеет место равенство  .

Кроме этого, вводится невозможное событие, обозначенное  , которому не способствует ни один исход из пространства элементарных событий. Вероятность невозможного события равна 0,P( )=0 .

3)Геометрическая вероятность

Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω — это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.

Определение

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

4)Элементы комбинаторики

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка).

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов  . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества   из k элементов.

Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор   элементов множества Х.

Если выбор элементов множества   из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле   (размещения с повторениями).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается   и определяется равенством (размещения без повторений).

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно .

Сочетаниями из n элементов по kназываются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается   и равно .

Справедливы равенства:  ,  ,  .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.