- 74 -

Лекция 11. Спектральный анализ сигналов. Аналоговое и дискретное преобразование фурье.

11.1. Задача спектрального анализа и цифровая обработка сигналов.

Непрерывную или дискретную функцию одного переменного можно представить рядов Фурье по тригонометрическим функциям , или интегралом Фурье от этих функций. Задача спектрального анализа состоит в определении спектра функции – кооффициентов ряда Фурье и спектральной плотности в интеграле Фурье в зависимости от частоты или круговой частоты . Спектральный анализ сигналов имеет очень важное значение в радиоэлектронике, поэтому функцию обычно рассматривают как сигнал, зависящей от времени .

Цифровая обработка состоит из двух больших областей: спектрального анализа и цифровых фильтров. Обе области рассматривают цифровые сигналы, называемые также дискретными, которые представляются в виде дискретных функций времени с постоянным шагом дискретизации , т.е. время , где – номер отсчета . Цифровой сигнал получается при дискретизации аналогового сигнала , представляемого непрерывной функцией времени.

Алгоритмы цифровой обработки позволяют выполнять различные преобразования дискретных функций, причем можно преобразовывать как сами функции, так и их спектры.

Рассмотрим периодические и непериодические сигналы. В таблице 11.1 приводятся основные характеристики сигналов и их спектров, причем используются следующие обозначения:

Д=1 означает дискретный, Д=0 – аналоговый, П=1 означает периодический, П=0 – непериодический.

Таблица 11.1.

Аналоговые и дискретные сигналы и их спектры

Дискретный непериодический сигнал (Д=1, П=0) при цифровой обработке обычно рассматривают как периодический (Д=1, П=1) с большими и физически разумными значениями периода .

Период определяет разрешение в спектре, т.е. разность частот соседних составляющих равна . Очевидно, что при получаем , т.е. сплошной спектр (Д=0).

Количество составляющих в спектре дискретного сигнала определяется количеством отсчетов на периоде .

11.2. Аналоговое преобразование Фурье (апф).

АПФ – это преобразование Фурье для аналогового сигнала, представляемого непрырывной функцией .

Переодическую функцию , имеющую период , можно представить рядом Фурье.

,

(11.1)

где - основная круговая частота сигнала,

- круговая частота -й гармоники сигнала,

(11.2)

- среднее значение (постоянная состовляющая сигнала) сигнала,

(11.3)

- косинусные коэффициенты сигнала,

(11.4)

- синусные коэффициенты сигнала.

Ряд (11.1) можно переписать в виде

(11.5)

Здесь – амплитуда гармоники с номером , – фаза той же гармоники. Значения и определяются по коэффициентам , с помощью формул

,

(11.6)

Комплексное число , его модуль и аргумент показаны на рис.11.1.

Рис. 11.1. Определение амплитуды и фазы гармоники по коэффициентам , .

Отметим, что величину называют комплексной амплитудой гармоники.

Для непериодических функций , когда , ряд Фурье (11.1) или (11.2) и выражения для его коэффициентов переходят в интегралы Фурье.

(11.7)

- обратное преобразование Фурье,

(11.8)

- прямое преобразование Фурье.