Лекции / L012

- 66 -

ЛЕКЦИЯ 12. ЭФФЕКТ НАЛОЖЕНИЯ ЧАСТОТ И КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ДПФ.

12.1 Наложение частот в ДПФ.

Этот эффект проявляется в тех случаях, когда количество отсчетов сигнала на периоде выбрано недостаточно большим.

Рассмотрим произвольный аналоговый сигнал . Пусть - его амплитудный спектр, который в общем случае содержит бесконечное количество гармоник. Пусть рассматриваемый сигнал дискретизирован и по его точкам с помощью ДПФ вычислен спектр , содержащий гармоник.

Если значение N выбрано правильно, то спектры и совпадают. Если же недостаточно велико, то спектры и существенно различаются, что показано на рис.12.1.

Рис.12.1. Спектры аналогового и дискретного сигнала при правильном (б) и неправильном (в) выборе значения .

На рис.12.1в даны только гармоники для рабочего диапазона ДПФ , а далее эти гармоники повторяются в соответствии с рис.11.3. Большие погрешности в спектре рис.12.1в обусловлены тем, что в исходном аналоговом сигнале есть гармоники с номерами , а в ДПФ они не рассматриваются из-за периодичности спектра.

Пусть - отсчет исходного аналогового сигнала , т.е. , .

Далее знак суммы по будет означать суммирование по этим значением , т.е. по всем отсчетам. Используем целый индекс для гармоник аналогового сигнала, в общем случае. Тогда аналоговое преобразование Фурье (АПФ) можно записать в соответствии с (13.2) в виде

(12.1)

По отсчетам (12.1) вычисляем прямое ДПФ, т.е. подставляем (12.1) в (11.17) или (11.19). Получим двойную сумму вида

(12.2)

Раскроем скобки и используем известные формулы для произведений, например,

Можно показать, что

При этом учитывается, что . Поэтому для коэффициента (или ) большинство слагаемых в двойной сумме (12.2) по k и p будет равно нулю и останутся только слагаемые с и слагаемые, для которых кратно .

Если аккуратно провести все указанные преобразования, то из (12.2) получим

(12.3)

и аналогичную формулу для . Из (12.3) делаем следующие выводы:

1. В вещественном ДПФ вычисляются гармоники с номерами , хотя в исходном аналоговом сигнале могут присутствовать гармоники с номерами .

2. Если в спектре исходного аналогового сигнала есть гармоники с номерами то при вычислении ДПФ они накладываются на гармоники с номерами и искажают их. Наложение происходит для гармоник с номерами и , если кратно . Это и есть эффект наложения частот (см. рис.12.2). При этом исходный спектр складывается как бы "гармошкой".

Рис.14.2. Эффект наложения частот при ДПФ. - амплитудный спектр аналогового сигнала; здесь для ДПФ , т.к. .

3. Для устранения эффекта наложения частот нужны фильтры верхних частот для аналогового сигнала или большие значения N, т.к. спектр аналогового сигнала не должен иметь гармоник с номерами . Если такие гармоники есть, то они не должны превышать заданной погрешности вычисления спектра.

Пример. Пусть в аналоговом сигнале имеем , , , , выбрано . Это ошибка, т.к. при ДПФ гармоники 50 и 49 накладываются на нулевую и первую соответственно, что даст погрешность 20%. Нужно выбрать .

12.2. Теорема отсчетов.

Другое название теоремы – теорема Котельникова, которое используется в отечественной литературе. Пусть исходный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой , которая соответствует номеру гармоники , где – период сигнала.

При дискретизации должно выполняться условие

,

(12.4)

т.е. отсчетов должно быть не меньше удвоенного количества гармоник.

Условие (12.4) можно записать в обычной для ДПФ форме

,

(12.5)

которая использовалась выше и в лекции 13.

Формулы (12.4) и (12.5) – это теорема отсчетов в безразмерных переменных. Используя размерные переменные , , (см. раздел 13.3) и частоту дискретизации эти формулы можно записать в более известном виде

,

(12.6)

 или.

12.3. Пример телевизионного сигнала

Спектр телевизионного радиосигнала имеет полосу 8 МГц от МГц до МГц. Здесь – несущая частота конкретного канала. Пусть МГц. Получаем МГц. За период выберем длительность одной строки мксек, т.е. основная частота МГц.

При дискретизации высокочастотного сигнала по (12.4)

на периоде, что соответствует частоте дискретизации МГц.

Это нереальная частота дискретизации. Если же радиосигнал демодулировать и перенести спектр в диапазон от 0 до 8 МГц, то получим значение и МГц, реализуемые в современной цифровой обработке.

12.4. Контроль точности.

Если спектр сигнала неизвестен, то использовать (12.4) для выбора нельзя. В этом случае выбирается произвольное и определяется гармоник. Затем шаг дискретизации уменьшается в 2 раза и ДПФ вычисляют по точкам, что дает гармоник. Можно также выполнить контроль, взяв точки через одну, т.е. по отсчетам сигнала.

Сравнивая амплитуды гармоник с одинаковыми номерами s в двух расчетах, получим погрешности вычислений по аналогии с (12.3). Если погрешность больше допустимой, то значения должны быть увеличены, т.е. следует использовать значения и , например.

12.5. ДПФ в вещественной и комплексной формах.

В предшествующих разделах использованы вещественные коэффициенты , , , . Для математических преобразований удобнее вместо sin, cos использовать комплексную экспонент и комплексную форму ДПФ:

,	(12.7)
,	(12.8)

Последние формулы получаются из (11.16) - (11.20). Имеем:

Вводя комплексные амплитуды для и соотношениями

, , получим

,

(12.9)

Гармоники в теоретической радиотехнике соответствуют отрицательным частотам. Напомним, что отрицательная частота позволяет записать вещественный гармонический сигнал в виде двух комплексных экспонент

.

Используя периодичность спектра , можно в (12.9) сменить пределы суммирования и получить (12.8). Выражение (12.7) следует из (11.17) – (11.20), т.к. .

Из (12.7) и (12.8) следует, что для ДПФ в комплексной форме достаточно одной программы, т.к. прямое и обратное ДПФ различаются лишь знаком в экспоненте и множителем , а не видом формул, как (11.15) – (11.20).

Отметим, что если в (12.8) оставить только гармоники с номерами от нуля до , то получим комплексный сигнал , у которого в теоретической радиотехнике есть специальное название - аналитический сигнал.

12.6. Количество операций в ДПФ.

Оценим количество операций по (12.7). Операцией будем считать умножение на комплексную экспоненту, т.е. . Операции здесь очень сложные, т.к. вычисляется через , , а , через полиномы.

Имеем слагаемых для вычисления одной гармоники по (12.7) и поэтому для вычисления одной гармоники нужно операций. Так как всего вычисляется гармоник, то прямое ДПФ требует примерно операций, т.е. сложность алгоритма ДПФ . Это означает, что при увеличении в 10 раз, количество операций увеличится в 100 раз.