4.3. Контроль точности вычисления производной.

В задачах моделирования правильный шаг дискретизации обычно неизвестен и его выбирают либо произвольным, либо на основании физических соображений о малом изменении дифференцируемой функции на шаге. При выборе метода руководствуются соображениями простоты, точности, эффективности. Пусть метод и шаг выбраны, и выполнено вычисление производной , т.е. получено число. Как проверить правильность выбора шагадля расчетов?

Контроль точности вычислений выполняется следующим образом: расчет повторяется либо с другим шагом (обычно с шагом), либо другим методом. Если различие двух полученных значенийсоответствует допустимой погрешности EPS, то значение производной принимается. В противном случае переходят к более мелкому шагу и контроль повторяется. Это соответствует автоматическому выбору шага дискретизации.

Из-за существенного влияния погрешностей численное дифференцирование применять без контроля нельзя.

В системе MathCAD для численного дифференцирования непрерывной функции в выбранной точке используется оператор . Полученное значение является результатом использования формулы (4.3) и более сложной формулы для контроля точности, учитывающей 4 соседних точки, т.е. шаг дискретизации определяется автоматически. В случае, если исследователь рассматривает дискретную функцию с произвольным шагом дискретизации, то при ее численном дифференцировании он должен обязательно подумать о контроле точности.

4.4. Численное интегрирование.

Применение и методы численного интегрирования аналогичны численному дифференцированию, т.е. численное интегрирование выполняется для дискретных и непрерывных функций и при этом для интерполяции используются полиномы и сплайны.

Постановка задачи. Дана дискретная или непрерывная функция . Вычислить на отрезкезначение интеграла

,

(4.11)

причем погрешность не должна превышать заданное значение EPS. Интеграл геометрически определяет площадь под кривой .

Любую формулу численного интегрирования можно записать в виде суммы всех ординат c весовыми коэффициентами,1, 2, ...,,

,

(4.12)

где - это приближенное значение. Значения весовых коэффициентов определяются шагом дискретизациии методом интерполяции. Самые известные методы численного интегрирования  - метод трапеций и метод Симпсона - используют линейную и параболическую интерполяцию соответственно.

При линейной интерполяции в методе трапеций график функции представлен в виде ломаной, соединяющей точки. В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных трапеций (рис.4.2).

Рис.4.2.

, , и в результате при постоянном шаге дискретизацииполучаетсяформула трапеций:

(4.13)

Эту формулу можно получить также, рассматривая сумму площадей прямоугольников высоты и шириныдля всех внутренних точек и шириныдля двух крайних точек.

Парабола в методе Симпсона проводится через каждые три точки, т.е. значение   должно быть нечетным. Разобьем отрезок интегрирования на четное число отрезков,….

На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим параболой,, коэффициенты которой определяются любым из рассмотренных методов интерполяции по трем точкам,,. Тогда элементарная площадь под параболой вычисляется, применяя, например, параболическую интерполяцию п.4.1, получим:

.

В результате суммирования получается формула Симпсона:

(4.14)

В (4.14) все четные ординаты имеют множитель 4, а все нечетные, кроме первой и последней, множитель 2.

Формулы численного интегрирования включают все погрешности, рассмотренные для численного дифференцирования. Исследования погрешности метода показывают, что при малых шагах дискретизации погрешность формулы трапеций пропорциональна , а погрешность формулы Симпсона пропорциональна, т. е. при заданной погрешности EPS формула Симпсона допускает более крупные шаги. Отметим, что формула Симпсона точна, если исходная функцияявляется кубическим полиномом.

Для погрешностей исходных данных и округления можно также получить оценки, аналогичные (4.9). Очевидно, что в случае большого количества точек абсолютные погрешностидля всех слагаемых могут суммироваться, и тогда для формул трапеций и Симпсона можно в качестве оценки взять погрешность максимальное значение,

где - количество точек. Видим, что полученное значение не зависит от шага. Зависимость суммарной погрешностиот шага дискретизацияпоказана на рис. 4.3.

Рис 4.3. Зависимость суммарной погрешности численного интегрирования от шага дискретизации.

Отметим, что обычно относительные погрешности результатов численного интегрирования меньше, чем численного дифференцирования.

Контроль точности вычисления интеграла любым численным методом аналогичен численному дифференцированию.

В системе MathCAD для непрерывных функций применяется сложный метод вычисления интеграла — метод Ромберга, основанный на методе трапеций. Метод трапеций с шагами ииспользуется в нем для контроля точности полученного значения интеграла, автоматического выбора шагаи для уменьшения погрешности полученного значения. Отметим, что при этом величина начального шага для вычисления площади трапеции по (4.13) равна. Для обращения к стандартному оператору численного интегрирования следует ввести символ &.

В случае дискретных функций с произвольным шагом дискретизации при вычислении интеграла необходимо помнить о влиянии погрешностей и контроле точности, т.к. поведение исследуемой функции между узлами может существенно отличаться от вида интерполяции, применяемого при выводе конкретных формул численного интегрирования.