- 32 -

Лекция 4. Численное дифференцирование и численное интегрирование.

Численное дифференцирование применяется в численных методах и при моделировании. Численное дифференцирование применяют для аналитических математических моделей, если дифференцирование по обычным формулам очень сложно, или для алгоритмических математических моделей, когда обычное дифференцирование невозможно.

4.1. Вычисление производных.

Постановка задачи: дана непрерывная или дискретная функцияи требуется вычислить производнуюв произвольной точке. Далее для значения производной будем использовать штрих < ' >.

В обоих случаях для вычисления производной применяют интерполяцию полиномами или сплайнами. Если исходные точки дискретной функции имеют погрешность, то вместо интерполяции нужно использовать аппроксимацию. В этом же случае можно применять и интерполяцию, но ей должно предшествовать сглаживание.

Наиболее широкое применение имеют формулы численного дифференцирования, полученные с применением локальной интерполяции полиномом. Полином степени строится для текущей точкии учитывает несколько соседних точек непрерывной или дискретной функции.

Пусть имеем постоянный шаг дискретизации функции вблизи точки дифференцированияи значения функции,,в точках,,соответственно. Для этих трех точек можно выполнить линейную и параболическую интерполяцию известными методами:

,

,

.

Дифференцируя эти две прямых или параболу в точке , получаем три известных формулы для вычисления:

	(4.1)
	(4.2)
	(4.3)

Формула (4.1) называется левой, т.к. использует соседнюю точку слева, формула (4.2) называется правой, формула (4.3) - симметричной, т.к. парабола учитывает левую и правую соседние точки.

Эти же формулы можно получить через конечные разности и, которые используются в строгом определении производной как. Очевидно, что в формулах (4.1-4.3) используются конечные разностии, аопущен. Отметим, что (4.3) можно рассматривать как среднее значение для двух первых формул, т.е. она точнее.

Дифференцируя ту же параболу, что и при выводе (4.3), нетрудно получить известную формулу для второй производной в точке :

(4.4)

Эта же формула получится, если использовать при выводе разность левой и правой производных первого порядка.

Формулы (4.1-4.4) получены с применением линейной или параболической интерполяции. Но можно применить полиномы более высоких степеней, которые учитывают больше соседних точек, а также кубический сплайн. В случае сплайна производные вычисляются через коэффициенты (2.2) для заданных точек или дифференцированием (2.1) для точек между узлами интерполяции, но это требует значительного количества операций по сравнению с простыми формулами (4.1-4.4).

При вычислениях по (4.1-4.4) нужно знать, как выбирать шаг дискретизации h для непрерывной или дискретной функции. Если на отрезке интерполяции исходная функция и полученная в результате интерполяции не совпадают, то производные будут иметь погрешность. Очевидно, что эта погрешность возрастает при увеличении шага дискретизации.