Построение линии пересечения плоскостей

общего положения (к задаче №3)

Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения необходимо найти две их общих точки.

К аждую точку можно представить как результат пересечения трёх плоскостей, поэтому заданные плоскости пересекают двумя плоскостями – посредниками. В качестве таких плоскостей рекомендуется выбирать плоскости частного положения. На примере (рис. 12) использованы горизонтальные плоскости P и Q.

Рис.12

1)  (a || b)  Q = 1,2 ABC  Q = 3,4 1,2  3,4 = N	2)  (a || b)  P = 5,6 ABC  P = 7,8 1,2  7,8 = M
3) MN – искомая линия пересечения плоскостей  (a || b) и ABC

Определение точки пересечения прямой общего

положения с плоскостью (к задаче №4)

План:

1. Заключить прямую в проецирующую плоскость;

2. Найти линию пересечения двух плоскостей (заданной и проецирующей);

3. Найти точку пересечения прямой с плоскостью (общая точка построенной линии пересечения с заданной прямой есть () пересечения этой прямой с плоскостью).

4. Определить видимость.

Рассмотрим этапы решения этой задачи.

1. Заключить прямую:

а ) в горизонтально проецирующую плоскость (рис. 13): АВ  РП₁

CD  QП₂

Рис. 13 Рис. 14

б) во фронтально проецирующую плоскость (рис.14).

2 . Построить линию пересечения двух плоскостей, одна из которых общего положения, а другая проецирующая (рис.15,16).

Рис. 15 Рис. 16

lPП₂ lQП₁

АВСP=1,2(1₂2₂1­₁2₂)  (m||n)Q=3,4(3₁4₁3₂4₂)

Определение видимости. Метод конкурирующих точек

Рис. 17 Рис. 18

Конкурирующими называются точки, лежащие на одном проецирующем луче (рис. 17), проекции на одной из плоскостей проекции совпадают (А₁В₁; С₂D₂), а на другой проекции они распадаются на две отдельные (А₂;В₂) , (С₂;D₂) (рис.18). Из двух совпавших на одной из проекций точек, принадлежащих разным геометрическим элементам, на проекции видна та, другая проекция которой расположена дальше от оси Х_.

На рис.18 видно, что

Z_AZ_B  () A₁ на проекции видима, а () В­₁ – невидима.

y_Cy_D  () C₂ на проекции видима, а () D₂ – невидима.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то

точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии

с вязи (рис19).

Точке пересечения фронтальных проекций прямых соответствуют две точки Е и F, из которых одна принадлежит прямой а, другая - прямой b. Их фронтальные проекции совпадают, т.к. в пространстве обе точки Е и F находятся на общем перпендикуляре к плоскости П₂. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра (рис. 19), позволяет установить, какая из двух точек ближе к зрителю.

В нашем случае это точка Е, лежащая на прямой b. Следовательно, прямая b проходит в этом месте впереди прямой а (y_E>y_F  b₂ - впереди, а₂ - за ней).

Аналогично: две точки К и L оказались на одном перпендикуляре к плоскости П₁. Фронтальная проекция этого перпендикуляра дает ответ на вопрос о том, какая из двух точек выше. Как видно из чертежа, точка К₂ выше L₂. Следовательно, прямая а проходит выше прямой b.

Вопрос о видимости на ортогональном чертеже тех или иных геометрических элементов необходимо решать для каждой проекции отдельно.

Решаем задачу в целом (рис. 20)

1. lPП₂

2. АВСP=1,2(1₂2₂1₁2₁)

3. l1,2=(K₁K₂)

4. Определить видимость

Х

Рис. 20

Перпендикулярность прямой и плоскости (к задачам №5 – 7)

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости. В плоскости проводят две такие прямые – горизонталь и фронталь – к которым можно построить перпендикуляр.