5. Джерела повідомлень

Моделі сигналів. Частотна форма зображення сигналів. Перетворення сигналів, теорема Котельникова. Інформаційні характеристики джерела дискретних повідомлень. Інформаційні характеристики джерела неперервних повідомлень.

5.1. Моделі сигналів

Залежно від структури інформаційних параметрів сигнали діляться на дискретні, неперервні і дискретно-неперервні. Існують такі різнавидності математичних моделей детермінованого сигналу: неперервна функція неперервного аргумента, неперервна функція дискретного аргумента, дискретна функція неперервного аргумента, дискретна функція дискретного аргумента. При аналізі проходження складного сигналу через системи передачі інформації його зображають у вигляді зваженої суми базисних функцій, або відповідного їй інтегралу. При вибраному наборі базисних функцій сигнал повністю визначається сукупністю безрозмірних коефіцієнтів. Такі сукупності чисел називають дискретними спектрами сигналів.

Частотна форма зображення сигналів.

Якщо функція u(t) задана в інтервалі часу t₁  t  t₂, задовольняє умовам Дирихле і повторяється з періодом T = 2/ = t₂ – t₁ протягом часу від -  до + , то вона може бути зображена рядом Фур’є в комплексній формі

_

u(t)=1/2A(jk)e^jkt, (5.1)

^k=-

t₂

A(jk)=2/Tu(t)e^-jktdt. (5.2)

t₁

Функція A(jk) називається комплексним спектром періодичного сигналу. Цей спектр дискретний, тому що функція A(jk) визначена на числовій осі тільки для цілих значень k і при конкретному k називається комплексною амплітудою. Комплексний спектр в експоненційній формі

A(jk)=A(k)e^-j(k) (5.3)

має модуль A(k), який називається спектром амплітуд і функцію (k) в показнику, яка називається спектром фаз. За допомогою формули Ейлера комплексний спектр виражається у вигляді дійсної і уявної частин:

t₂ t₂

A(jk)=2/T[u(t)cosktdt-ju(t)sinktdt]=A_k–jB_k (5.4)

t₁ t₁

Спектр амплітуд є парною функцією k

A(k)=A_k²+B_k², (5.5)

а спектр фаз - непарною

(k)=arctg(B_k/A_k). (5.6)

Окремі складові спектра називаються гармоніками, а при k = 0 буде постійна складова

t₂

A₀=2/Tu(t)dt. (5.7)

t₁

Для неперіодичних сигналів додавання переходить в інтегрування, а формули перетворення Фур’є мають вигляд

_

u(t)=1/2S(j)e^jtd, (5.8)

^-

_

S(j)=u(t)e^-jtdt. (5.9)

^-

Величину S(j) називають комплексною спектральною щільністю або спектральною характеристикою. Як комплексна величина спектральна характеристика може бути записана у вигляді

S(j)=S()e^-j(), (5.10)

де S() = |S(j)| називається спектральною щільністю амплітуд або спектром неперіодичного сигналу. Тригонометрична форма інтегрального перетворення Фур’є має вигляд

_

u(t)=1/S()cos[t-()]d. (5.11)

⁰

Розподілення енергії в спектрі описується рівнянням Парсеваля

_{  }

|u(t)|²dt=1/2|S()|²d=1/|S()|²d. (5.12)

^{- - 0}

Воно показує, що енергію неперіодичного сигналу, яка виділяється за час його існування , можна визначити інтегруючи квадрат модуля його спектральної характеристики в інтервалі частот.

Для реальних сигналів розглядають моделі, які мають скінченну тривалість і обмежений спектр. Як критерій обмеження використовується енергетичний критерій, згідно з яким практичну тривалість Т_п і практичну ширину спектру _п вибирають так, щоб в них була зосереджена переважна частина енергії сигналу. Для сигналів, які починаються в момент часу t₀ = 0, практична тривалість визначається із співвідношення

Т_п 

|u(t)|²dt = |u(t)|²dt, (5.13)

^{0 0}

де  - коефіцієнт, близький до 1 (від 0,9 до 0,99), а практична ширина спектру відповідно

_п 

1/|S()|²d = /|S()|²d. (5.14)

^{0 0}