1.Вектор.Свойства.

Вектор- направленный отрезок, нулевой вектор-точка. Длина вектора- длина отрезка вектора или расстояние от начала до конца. Два вектора равные если: лежат на парал. прямых или на одной. их длины равны, напр в одну сторону. Векторы, которые лежат на парал прямых или на одной- коллинеарные, 2 коллин. вектора напр в одну сторону- соноправл., в разнае стороны- противополнапр. векторы лежащ на парал прямых – компланарные.

Операции: 1.Сложение:правило треуг, правило парал-рама.

2.Умножение вектора на число: Произведение вектора А на число α наз В: 1) В колинеарен А, 2) соноправлен, есль α >0 против. есль α <0 3) |В|=| α |*|А| Теорема: пусть А 0, В коллин А, тогда α: В= α А. Док-во: В= α *|А|=> |В|=| α |*|А|=> | α |=|В|/|А|=> Единственность: Пусть сущ α₁ и α₂ => В=| α₁ |*|А|=| α₂ |*|А| => | α₁ |*|А|=| α₂ |*|А| , А 0, | α₁ |=| α₂ | => α₁ = α₂; α₁ = α₂ или α₁ = - α₂ (не может).

Свойства операций: 1)А+В=В+А, 2)(А+В)+С=А+(В+С), 3)А+0=А, 4) Для А В: А+В=0. Опр: Разностью А-В=А+(-В). 5) α (А+В)= α А+ α В 6) (α +β)А= α А+ β А. Док-во: 1) α и β одного знака: Длина: Направл: => ; => , }=> . 2)α и разного знака: а) | α |=| β | α = - β => (α + β)А=0, α А+ β А=0 => 0=0 б) | α |>| β| , , , }=> .Длина: . 7) α (βА)= (αβ)А 8)1*А=А

2.Проекция на ось.

Опр: Осью наз прямую на которой задано направл. Оно задается произвольным не 0вым вектором. Опр: Рассм множество векторов плоскости.

-проекция вектора на ось(рис)

Рассм произв ось. Пусть l прямая пересек ось в произв точке. Еще есть точка М(не лежащая на оси). Проводим через нее прямую || l. Получаем -проекцию точки на ось вектора А || l . Опр: Рассм множество всех векторов 3-х метром пространстве. Берется ось, через нее проводится плоскость Пи. Берется М, через нее проводится еще одна плоскость || Пи . Алгебраич значением проекции вектора на ось наз число которое опр след образом: Свойства алгебр значений:

1) 2) . Опр: Под углом между векторами будем принимать угол между векторами равных данным и имеющими общее начало и абсолютной величине не больше 180. По часовой угол с минусом, против +. Опр: Рассм проекциб вектора на ось || l или || плоскости Пи., если эта прямая или плоскость перпендик оси, то она ортогональна. Теорема: Алгебр значение ортогональной проекции АВ на ось вектора а Док-во:

1) , проводим ||AB из точки С (лежащей на оси), получается CD => т.к. длины АВ и CD равны =>

2) , .

3.Базис системы векторов

Опр: Рассм некоторую систему векторов: вектор равный: наз линейной комбинацией. Если комбинация системы =0, тока если все , система векторов- линейно независима, в обратном- зависима. Опр: Наз базисом системы векторов, такую её подсистему, что выполняется: 1) подсистема линейнонезависима, 2)произ вектор можно представить в виде линейной комбинации данной подсистемы. Опр: Число векторов в базисе- размерность системы. Теорема: Пусть базис некоторой подсистемы, тогда любой вектор системы единственным образом может быть представлен в виде: Док-во: (от обратного,единств) Пусть => , т.к. -базис и лин независ система> => . Опр: Представление наз разложением вектора по базису, а - координаты вектора а, в базисе Теорема: Пусть базис некоторой системы векторов. При сложении 2 произвольных векторов системы, их координаты в базисе складываются, при умножении вектора на число, все координаты вектора умножаются на число. Док-во: Рассмотрим 2 вектора - координаты в базисе . Умножение: - координ в базисе

4.Базис множества всех векторов на прямой и плоскости.

Теорема1: Произвольный не 0ой вектор обр базис множества всех векторов прямой. Док-во: Рассмотрим любой 1) -лин независ система векторов,т.к. => => => . 2) Любой произвольный вектор принадлеж прямой. коллинеарен : координата вектора в базисе => множество всех векторов на прямой обр базис величиной 1. Теорема2:

2 произв неколинеарн вектора обр базис множества всех векторов плоскости. Док-во: Пусть произ неколин векторы. 1) лин независ система векторов, т.к. оба они не равно нулю, т.к. о коллинеарен всем. Подставл в лин комбинацию: , от обратного. Пусть противоречие. => лин независ система.

2) . базис на АВ. базис на АС=> координаты вектора в базисе .