Метод обобщенных переменных. Представление о подобии физических явлений. Условия необходимые и достаточные.

Для того чтобы_придать результатам численного или экспери­ментального решения обобщенный характер, т. е. сделать решение пригодным не только для одного конкретного явления, но и для группы подобных явлений и для уменьшения числа параметров задачи, применяют метод обобщенных переменных. Этим и ограничиваются возможности названного метода.

Содержание метода обобщенных переменных состоит в замене отдельных параметров задачи, представленных первоначальными величинами, комплексами, составленными из нескольких первона­чальных величин, заданных по условию.

Теплопроводность. Доказано [19], что решение задачи о тепло­проводности в твердом теле для нестационарного периодического процесса при заданных значениях чисел Фурье и Био и распре­деления относительных переменных величин (если необходимо) в начальный момент и на границах тела можно найти в форме следующей однозначной зависимости:

где υ/υ₀—искомая переменная—температура твердого тела в от­носительной форме; τ/τ₀, х/l, у/1, z/l — независимые переменные — время и координаты в относительной форме. Величины υ₀, τ₀, l₀ задаются по условию задачи; следует подчеркнуть, что при реше­нии задачи об определении температурного поля твердого тела коэффициент теплоотдачи во всех случаях — величина заданная. Покажем, что решение (20.10) имеет обобщенный характер. Существует бесчисленное количество первоначальных величин а = λ/(cρ), τ₀, l, которые при объединении в число Фурье дадут одно и то же число. Все это справедливо и для числа Био. Но каждый набор из первоначальных величин а = λ/(cρ), τ₀, l, соот­ветствует конкретному единичному случаю. Следовательно, реше­ние в форме (20.10) остается справедливым для бесчисленного количества единичных случаев, у которых как число Фурье, так и число Био одинаковы. Значит, решение (20.10) имеет обобщенный характер, а все единичные случаи, оля которых это решение оказывается справедливым, родственны .между собой. Это объяс­няется тем, что соотношения между основными физическими эф­фектами во всех случаях одинаковы, так как для них одинаковы числа Фурье и Био, а краевые условия подобны между собой. Явления, между которыми наблюдается такое соответствие, физически подобны.

Группа единичных случаев, у которых числа (например, Фурье и Био) одинаковы, составляет обобщенный индивидуаль­ный случай. Единичные случаи, составляющие обобщенный индивидуальный случай, подобны между собой.

Конкретные значения чисел подобия (и если необходимо—от­носительное распределение переменных величин в начальный мо­мент и на границах системы), присоединенные к соответствующим дифференциальным уравнениям, описывающим класс явлений (например, явления теплопроводности в твердом теле), выделяют из него (класса) обобщенный индивидуальный случай и, следова­тельно, могут рассматриваться как обобщенная форма краевых условий.

Следовательно, количественным признаком подобия является одинаковость чисел (например, Фурье и Био), составленных только из заданных параметров математического описания процесса, по этому их называют числами подобия.

Заключение о равенстве чисел подобия для подобных между cобой процессов теплопроводности, описанных тождественными уравнениями, остается справедливым для любых явлений тепло­обмена.

Итак, необходимым и достаточным условием подобия двух или более процессов теплообмена является равенство в них одноимен­ных чисел подобия